Re: Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

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Re: Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

Beitragvon Sculpteur » 22.08.2022 19:34

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Die Proportionen der Cheopspyramide

Hypothese
Die alten Ägypter ermittelten die bautechnisch praktikabel einmessbaren Proportionen der Cheopspyramide mit einem simplen Seilspannstrick der eine proportionale Einmessung zwischen jeweiliger spezifischer Höhe zur Kantenlänge von Baukörperabschnitten und einzelnen zu verbauenden Steinblöcken von 2 : 3 Streckenlängeneinheiten ermöglichte. Bei Einmessung über die Pyramidenkante (Diagonale Einmessmethode, vgl. [Graefe]). Damit war den alten Ägyptern eine präzise Einmessung der finalen Bauform der Cheopspyramide praktikabel ohne jedwede dafür notwendige Rechenarbeit möglich. Kenntnis über die dafür ideale einzumessende Proportion erhielten die Alten Ägypter über das vorherige und ggf. tradierte systematische Durchprobieren von Proportionen unter Verwendung von Vermessungswerkzeugen aus z.B. Riemen, Schnur und Seil ggf. in Verbindung mit Lotgewichten sowie über die Auseinandersetzung mit geometrischen und arithmetischen Phänomenen.

EINLEITUNG

- Datierungen und Namensgebungen (sofern unkommentiert) nach von Becketrath -

E1. Die Proportionen altägyptischer Pyramiden
Die alten Ägypter erbauten während der sogenannten Pyramidenzeit (Altes Reich, 4. Dynastie, etwa 2639/2589 – 2504/2454 v. Chr.) monumentale Pyramiden aus Stein im Stile „geometrischer Pyramiden“. Altägyptische Pyramiden dieser Kategorie (und deren Überreste) weisen unterschiedlichste Abmessungen und daraus resultierende Proportionen und Neigungswinkel auf. Bestimmte Pyramidenneigungen verbauten die Alten Ägypter häufiger [Stadelmann, 1997].

E2. Die altägyptische Pyramidenzeit
Es existieren zahlreiche chronologische Einordnungen verschiedener Autoren der Zeitverläufe des Alten Ägypten. Stadelmann bezeichnet den Zeitabschnitt der 4. Dynastie (2630 – 2475 v. Chr.) als Pyramidenzeit [Stadelmann, 1990,75]. Von Beckerath grenzt die 4. Dynastie auf etwa 2639/2589 – 2504/2454 v. Chr. ein [Beckerath, 1997,187]. Müller-Römer verwendet den Begriff „Pyramidenzeit“ nicht explizit und grenzt die Zeit des altägyptischen Monumentalpyramidenbaus auf die 3. bis 6. Dynastie ein, die in einer Veröffentlichung von Müller-Römer zunächst auf einen Zeitraum von etwa 400 Jahren festgelegt wurde [Müller-Römer, 2007,16] und von Müller-Römer in einer späteren Veröffentlichung schließlich auf einen Zeitraum von etwa 470 Jahren Dauer korrigiert wurde [Müller-Römer, 2001,35].
Da die Datierung von Ereignissen und Zeitabschnitten in der Ägyptologie von Autor zu Autor abweichen kann, eignet sich nach Ansicht des Verfassers die Einordnung von Müller-Römer nach Auftreten der Erbauer von Pyramiden als alternativ umschreibender Marker für die Eingrenzung der altägyptischen Pyramidenzeit (nach Müller-Römer: Djoser bis Pepi II. Djoser {Tosorthros, Hor Netri-chet} regierte während der 3. Dynastie; Altes Reich von etwa - 2690/2640 - 2670/2620 v. Chr.; Pepi II {Phiops, Nefer-ka-rê} regierte während der 6. Dynastie von etwa 2279/2229 - 2219/2169 v. Chr.).

E3. Steinerne Pyramiden des Alten Reichs
Aus den Steinpyramidenbauten des Alten Reichs lassen sich unterschiedliche Bauformen und Bauweisen ablesen. Über manche Bauweisen (z.B. die der Cheopspyramide) wird noch heute intensiv diskutiert. [Müller-Römer, 2011] gibt einen Überblick über die im Alten Reich angewendeten (und teilweise vermuteten) Bauweisen für Steinpyramiden.
Stadelmann verwendet den Begriff der "geometrischen Pyramide" offensichtlich für Pyramiden mit einer Bauausführung, die einen Pyramidenbaukörper mit allseits geglätteten Flächen vorsieht [Stadelmann, 1997].
Zu den verschiedenen, von den Alten Ägyptern angewendeten Pyramidenbauweisen und verbauten Pyramidenneigungen siehe weiterführend z.B. [Lauer, 1988,270 - 271]; Stadelmann, 1997 ...]; [Arnold, 1994,200]; Lehner, 2004,16 u. 17]; [Janosi, 2010,37-57]; [Lehner/Hawass, 2017,403 - 419] und im Speziellen im Hinblick auf von den Alten Ägyptern verbaute Pyramidenneigungen [Müller-Römer, PDF6,9 u. 10]).
Nach Stadelmann ist die sog. Knickpyramide von Dahschur die erste geplante geometrische Pyramide der Alten Ägypter. Bauherr der Knickpyramide war Senofru {Soris}; 4. Dynastie (2639/2589 – 2604/2554); häufig auch Snofru genannt [Stadelmann, 1997].
Laut Stadelmann scheint es aufgrund der eingehenden Untersuchungen Maragioglio´s und Rinaldi´s nicht ausgeschlossen, dass sich in der Knickpyramide von Meidum zwei verschiedene, in der altägyptischen Baugeschichte aufeinanderfolgende Bauweisen (Übergang von der steilen Stufenpyramide zur reinen geometrischen Form) in einem kühnen Schritt der Bauausführung vereinen [Stadelmann, 1997]. Einige Autoren sehen in der Form der Knickpyramide (rhomboidale Pyramide) das Resultat schwerwiegender Baufehler, deren Auswirkungen auf das Bauwerk die Alten Ägypter durch die ungewöhnliche Formgebung der Knickpyramide zu retten suchten (siehe z.B. [Stadelmann, 1997]).

E4. Die Spezifika der Altägyptischen Königselle
Lepsius legte die durchschnittliche Länge der Altägyptischen Königselle als einem von den Alten Ägyptern angewendetem Grundmaß auf eine Länge von etwa 52,5 cm fest. Diese Länge (als Mittelwert) leitete er aus den verschiedenen Quellen seiner Zeit ab. Quellen, auf die Lepsius sich damit bezog, waren u.a. die Abmessungen altägyptischer Messstäbe, sowie Abmessungen von Schächten und Kammern im Innern und im Umfeld von altägyptischen Pyramiden sowie von Sarkophagen [Lepsius, 1856].
So wie bereits Lepsius geht die Ägyptologie heute gemeinhin von einer Länge der Altägyptischen Königselle von 7 Schesep zu je 4 djeba bei einer ungefähren Länge von 52,5 cm (als Mittelwert) aus (meh, altägypt. „...“ für „...“) in 7 Schesep (…, altägypt. für „Handbreiten“) zu je 4 Djeb (… altägypt. für „Fingerbreiten ...“). 1 Djeba entsprach damit bei einer gemittelten Länge von 0,525 m für eine Altägyptische Königselle etwa 1,875 cm. Daraus ergibt sich die Länge einer Altägyptischen Königselle von 28 Djeba [...].
Lepsius untersuchte zahlreiche altägyptische Messstäbe mit der ungefähren Länge von 52,5 cm. Die Längen der Messstäbe wichen teilweise nur geringfügig voneinander ab [...]. 1 Djeba konnte bei den von Lepsius untersuchten Ellentypen unterschiedlichste weitere Grundeinteilungen aufweisen, die bis in den Bereich von unter einem Millimeter reichten [...]
Die Verarbeitungsqualität der von Lepsius untersuchten Messstäbe war stark unterschiedlich. Aufgrund der handwerklich teilweise sehr ungenauen Unterteilung mancher Messstäbe folgerte Lepsius, dass es sich bei diesen nicht um tatsächlich für Vermessungsaufgaben verwendete Messwerkzeuge, sondern um Devotionalgenstände handelte [...]. Interessanterweise ging Lepsius von der Existenz einer ursprünglichen altägyptischen, in 6 Schesep (bei Lepsius sog. Palmen) eingeteilten Elle aus, aus der heraus sich die spätere "große Elle" (altägyptische Königselle) mit 7 Schesep entwickelte [...]. Dieser Zusammenhang ist besonders erwähnenswert weil er sich auf die Proportionen der Cheprenpyramide auf dem Plateau von Giseh anwenden lässt (siehe Berechnungsanhang [A...]).

E5. Flinders Vermessung des Plateaus von Giseh
Flinders brach 1880 voll Ungeduld nach Ägypten auf und begann mit seiner aufwändigen Vermessung des Plateaus von Giseh [...] über die er in seinem 1883 veröffentlichten Werk The Pyramids and Temples of Gizeh veröffentlichte [Stadelmann, 1997,87]. Flinders Vermessungen des Plateaus von Giseh waren so exakt und gut dokumentiert, dass die von Flinders auf dem Plateau ermittelten Messdaten (neben geringfügig erfolgten neuzeitlichen Korrekturen) noch heute Verwendung finden (vgl. z.B. [Stadelmann, 1997,87]).
Flinders erzielte seine enorm exakten Vermessungsergebnisse mit der Unterstützung eines einzelnen Gehilfen und teilweise selbst gebautem Equipment [...]. Flinders vermaß unterschiedlichste Dimensionen des Plateaus und der auf dem Plateau befindlichen Bauwerke und z.T. auch kleinste Bauglieder und Bauteile. Für die Länge der Altägyptischen Königselle ermittelte Flinders so einen gemittelten Wert von 52,36 cm (dieser Wert in Zentimetern resultiert rechnerisch aus Flinders Angaben in Inch) [Flinders, E2].


Die Proportionen der Cheopspyramide
1. Kontroverse Diskussionen über die Proportionen altägyptischer Pyramiden
Die Proportionen altägyptischer Pyramiden sind bis heute häufig Anlass zu mannigfaltigen, teilweise sehr obskuren Theorien und ausufernden Diskussionen. Dabei wurden manche Theorien widerlegt oder wurden von vielen Ägyptologen sogar als untragbar abgelehnt (siehe hierzu z.B. die Veröffentlichungen von Friedrich Wilhelm Korff [Korff, B9; B10] sowie zu den Diskussionen über Korff´s Theorien [Müller-Römer, PDF6; PDF9] und auch Erwiederungen Korff´s [Korff, PDF2]).
Heute einen vollständigen Überblick über sämtliche zu den altägyptischen Pyramiden, deren Bauweisen und Hintergründen sowie insbesondere zu den Pyramiden von Giseh zu erhalten ist im Zeitalter heutiger individualisierter Veröffentlichungen auf unterschiedlichsten medialen Wegen nahezu unmöglich geworden.

1.1 Fehlinterpretationen über Proportionen altägyptischer Pyramiden
Aus manchen Theorien zum Bauprinzip altägyptischer Pyramiden ist abzulesen, dass die Grundlagen der bautechnischen und bautenplanerischen Errungenschaften der alten Ägypter - zu denen auch die altägyptische Mathematik gehört - häufig falsch interpretiert, teilweise ignoriert oder auch überinterpretiert werden (siehe z.B. [Korff, B9; B10]). Korff´s Theorien werden dabei von der Ägyptologie weitestgehend abgelehnt.

2. Bautechnische Forschung über das alte Ägypten
Bautechnische Forschung im Diskussionsfeld altes Ägypten (siehe z.B. [Müller-Römer, 2011] [Winkler, 2001]) kann im wissenschaftlichen Sinne nur dort ansetzen, wo wir mit den Mitteln und Methoden arbeiten, die den alten Ägypter nachweislich zur Verfügung standen: In Bezug auf z.B. die altägyptische Vermessungstechnik stehen uns heute jedoch wenige konkrete Überlieferungen zu dieser Thematik zur Verfügung. Deshalb findet in der Ägyptologie ein andauernder Diskurs über Fragestellungen zu Bautechniken, Handwerkstechniken und Innovationen (z.B. im Bereich der Vermessungstechnik und Mathematik sowie der Erforschung altägyptischer Grundmaßsysteme) der alten Ägypter statt.
Die seriös forschende Auseinandersetzung mit altägyptischen Bauwerken (und z.B. ihren Proportionen) erfordert notwendigerweise einen Zugang zu altägyptischer Mathematik und zu daraus resultierender spezifischer Proportionslehre (siehe z.B. auch Rhind Paphyrus; im speziellen [Robins/Shute, 1987]), siehe [Cantor, 1907] im Hinblick auf die allgemeine Entstehung der frühen Mathematik und z.B. [Müller-Römer, PDF/2016] zusammenfassend über altägyptische Mathematik). Auch konkrete Einblicke in die Baupraxis sowie den handwerklichen und kunsthandwerklichen Umgang mit den Werkstoffen Lehm und Stein - und somit eine insgesamt experimentalarchäologische Auseinandersetzung mit der Gesamthematik sind hilfreich.


3. Alternative Theorien zu den Proportionen altägyptischer Pyramiden
In die Proportionen der Cheopspyramide auf dem Platteau von Giseh in Ägypten z.B. wurde bis heute vielfältiges (und aus wissenschaftlicher Sichtweise häufig unhaltbares) hinein interpretiert. Manche alternativen Theorien halten sich dabei offensichtlich hartnäckig (siehe hierzu im Allgemeinen die Radosophie insgesamt sowie Verortungen der Radosophie im ägyptologischen und fachwissenschaftlichen Kontext; vgl. z.B. etwa [Janosi, 2010]; [Lehner, 1977]; [Tyldesley, 2006]; [Tompkins, 1973]; Korff, 2008 u. 2015]). Über alternative Sichtweisen zu Sinn und Zweck der Pyramiden des alten Ägyptens berichten kritisch z.B. [Janosi, B8] [Lauer, B12] [Tompkins, B33]. [Sasse/Haase, B28] hingegen bereiten das Thema Erforschung altägyptischer Pyramiden und altägyptischer Handwerkskunst eher populärwissenschaftlich auf. Sasse und Haase erlauben sich in ihrem Werk Kritik an fehlender Interdisziplinarität in der modernen ägyptologischen Forschung und thematisieren damit einen wichtigen Diskussionspunkt für die moderne ägyptologische Forschung. Ihre Kritik erlauben Sasse und Haase sich zuvorderst auch im Hinblick auf die Bautenforschung an der Cheops-Pyramide und das gescheiterte (medial massenspektakelmäßig aufbereitete) UPUAUT-2-Projekt des Nicht-Ägyptologen Rudolf Gantenbrink [Sasse/Haase, 1997]).

4. Zugang zu Fragestellungen über die Proportionen altägyptischer Pyramiden
Bereits ein oberflächlicher Überblick über die altägyptische Vermessungstechnik und die bestehenden gängigen (fachwissenschaftlich diskutierten) Theorien (siehe hierzu z.B. [Müller-Römer, 2011]) zeigt, wie wir uns den Fragestellungen zu den Proportionen altägyptischer Pyramiden auch im Hinblick auf experimentalarchäologischen Anspruch nähern können:
Jedes antike Bauwerk einer gewissen bautechnischen Komplexitätsstufe bedurfte (sehr wahrscheinlich) einer gewissen bautechnischen Planung im Vorfeld. Im Hinblick auf z.B. die Cheopspyramide dürfte das zumindestens eine grundlegende Auseinandersetzung über ihre Proportionen - im Sinne einer umzusetzenden gesamtgestalterischen und damit architektonischen Vision - gewesen sein (siehe zu generellen Informationen über die Cheops-Pyramide z.B. [Stadelmann, 1990, 1997] [Lehner, 1997 u. 2004] (überarb. Neuauflage von B14 unter anderem Titel und Verlag)] [Lehner/Hawass, 2017], [Goyon, 1990 ] [Janosi, 2010].

5. Graefe´s Kritik an manchen Erkenntnissen zur altägyptischen Vermessungstechnik
Graefe argumentiert dahingehend, dass von einer Eindeutigkeit der Bautenplanung im Vorfeld altägyptischer Pyramiden nicht unbedingt ausgegangen werden muss [Graefe, PDF,….]: In Feldversuchen haben Graefe und sein Team ermittelt, dass sich die Neigungswinkel mehrerer altägyptischer Pyramiden relativ exakt über die Einmessung einer Winkelung von 45° (bei einer einfach einzumessenden Proportion von 1 : 1 einzumessender Höhe zur Breite also) über die Kanten im Bauprozess befindlicher altägyptischer Pyramiden (bzw. Pyramidenbaustufen nach dem Prinzip aufeinanderfolgender Schalungen) hätten ergeben können.
Graefes Argument kann durchaus als stichhaltig angesehen werden, weil sich; wie Graefe im Kontext seiner Ausführungen anführt; die Bausubstanzen vieler altägyptischer Pyramiden sich insgesamt in einem sehr schlechten Zustand befinden und an einigen altägyptischen Pyramiden und deren Überresten eine schalenartige Bauweise aufeinanderfolgender Baustufen zu beobachten ist, die in aufeinanderfolgenden Bauprozessen allmählich erweitert wurde.
In der Gesamtwentwicklung der altägyptischen Pyramidenbaukunst ist angesichts des uns heute vorliegenden Wissens über abweichende Pyramidenbauweisen der alten Ägypter insgesamt ein innovatives experimentelles, auf Trial and Error ausgelegtes allmähliches Vortasten entlang schließlich gut funktionierender bautentechnischer Gesamtkonzepte abzulesen (siehe hierzu insbesondere auch [Goyon, 1990] [Stadelmann, 1990 u. 1997] [Lehner, 2004] [Lehner/Hawass, 2017]).

5.1 Einmessung sich allmählich entwickelnder Pyramidenbauweisen
Die allmähliche Entwicklung von Pyramidenbauweisen im alten Ägypten verlief über große Zeiträume. Nach Stadelmann entwickelte sich die Idee, Grabanlagen pyramidenförmig monumental zu überbauen im alten Ägypten ausgehend von der ursprünglich überbauten Mastaba (Snofru) und die monumentalen Stufenpyramiden aus Lehmziegeln (Adoben) in z.B. Sakkara hin zu den schließlich mit glatten Seiten versehenen monumentalen steinernen Pyramiden des Alten Reichs (z.B. Dahschur und Giseh) [Stadelmann, 1997].
Solche allmählichen bautechnischen altägyptischen Entwicklungsprozesse enbehrten dabei vermutlich auch nicht entsprechender Rückschläge. Solche Rückschläge, wie sie vermutlich an der Knick-Pyramide von Dashur mit ihren zwei verschiedenen Baustufen mit verschiedenen Neigungswinkeln abzulesen sind (worüber vielfach Einigkeit unter Ägyptologen herrscht; siehe z.B. [Stadelmann, 1997] [Winkler, DISS. 2001]), wären damit Triebfeder für eine allmählich angepasste gut funktionierende Pyramidenbauweise der alten Ägypter gewesen.

5.2 Potenziell statisch bedingt angepasste Bauweise bei der Knick-Pyramide von Dahschur
Bei der Knickpyramide von Dahschur mit ihren zwei unterschiedlichen Neigungswinkeln [Stadelman, 1997] geht die Ägyptologie - insbesondere aufgrund statischer Schäden an der Pyramide - davon aus, das die alten Ägypter den ursprünglichen Neigungswinkel der Pyramide von ...° zu steil angesetzt haben - was zu einer zu großen Auflast von Baumasse führte. Deshalb waren die alten Ägypter nach gängiger Theorie schließlich gezwungen, den Neigungswinkel im Bauprozess aufgrund statischer Probleme abzuändern (siehe z.B. [Stadelmann, 1997, 95] [Winkler, DISS. 2001, ...]).
Möglicherweise begegnet uns deshalb schließlich mit den altägyptischen Kleinpyramiden (Meroe-Nekropole) [Hinkel, 2002] eine ursprünglichere gestalterische Vision der alten Ägypter für den Pyramidenbau in Form von sehr steil aufragenden spitzwinkligen Pyramidenbauten, wenn wir diese Bauweise von den Proportionen her mit der unteren Baustufe mit steilem Neigungswinkel der Knickpyramide vergleichen.


5.3 Graefe´s Argument der schalenartigen Bauweisen von altägyptischen Pyramiden
Hauptsächlich bezieht sich Graefe [Graefe, PDF, ...] mit seinen Überlegungen, die eine starke Ablehnung des Seked-Konzepts für das alte Ägypten ablesen lassen, auf die Tatsache, dass sich an einigen altägyptischen Pyramiden und deren Überresten schalenartige Bauweisen mit schräg angelegten Bauteilen finden lassen, die darauf hindeuten, dass Bauwerke (siehe auch ursprüngliche Mastaba des Snofru [Stadelmann, 1997]) allmählich (Schicht um Schicht) erweitert wurden (siehe z.B. auch Stadelmann über die Knickpyramide in Dahschur-Süd [Stadelmann, 1997, Tafeltext zu Tafel 26]).
Die Gründe für solche altägyptischen Bauweisen werden in der Ägyptologie vielfältig diskutiert (siehe z.B. [Winkler, DISS., 2001]).
Nach Graefe wäre es demnach aufgrund dieser Bauweisen nicht von vorneherein für die ursprüngliche Bautenplanung der alten Ägypter ersichtlich gewesen, welche Ausmaße bei additiver Bautechnik eine fertiggestellte Pyramide der alten Ägypter nach potenziellen diversen Bauphasen schließlich hätte annehmen können.
Auf dieser Grundlage nimmt Graefe demnach möglicherweise wohl an, dass die alten Ägypter also gar keine generellen ursprünglichen Gestaltungsvisionen für Monumentalpyramiden entwickelten, weshalb auch ein Einmessen über den in der Ägyptologie vieldiskutierten Seked im Grunde überflüssig gewesen sei [...].
Nach Graefe hätten sich Bauwerksabmessungen an altägyptischen Pyramiden demnach
dadurch ergeben, dass aufeinanderfolgende Bauschichten von Pyramiden von den alten Ägyptern teilweise und Baustufe für Baustufe über lange Zeiträume additiv allmählich erweiternd fertiggestellt wurden, wodurch sich schließlich daraus resümierende Gesamtabmessungen (und Proportionen) der Pyramiden ergeben hätten.
Damit zielen Graefe´s Argumente auf die ursprüngliche mögliche, nicht vollständig und von vorneherein bestehende Planbarkeit eines schließlich tatsächlich vollendeten Monumentalbaus im alten Ägypten ab.
Die Sinnhaftigkeit von allmählich erweiterten Monumenten der Sepukralkultur passt vorstellbar gut zu den jeweils nicht abzuschätzenden Regierungszeiten altägyptischer Herrscher, wenn davon ausgegangen werden soll, dass es Hauptziel altägyptischer Pyramidenbauprojekte war, einem jeweiligen Pyramidenkomplex zugehörige Pyramidenbauten rechtzeitig fertigzustellen [...Janosi]. Untermauerung findet diese Annahme darin, dass wir heute an altägyptischen Pyramidenbauwerken Merkmale einer überhastet wirkenden Fertigstellung bzw. eine plötzliche Einstellung der Bauarbeiten ablesen können (siehe Mykerinos-Pyramide auf dem Plateau von Giseh) [...Müller-Römer].
Graefe´s Argumente werden unter diesem bautechnischen Fokus grundlegend interessant, können allerdings vermessungstechnisch relativiert werden. Wir wissen aus der Geschichte der Entwicklung der Baukunst, dass Baumodell und Bauentwurf eine sehr lange Tradition mit sich bringen […, Hecht]. Auch von den alten Ägyptern kann angenommen werden, dass sie Modellentwürfe für zu erbauende Bauwerke (und Areale) anfertigten (vgl. gestalterische Bauplanung von Bauwerksteilen; etwa … sowie figürlicher Gresamtproportionskanon, vgl. Bammes, Robins]). Die Frage der schließlichen Realisierbarkeit einer bautechnischen Vision ist aus architektonischer und bauhandwerklicher Sichtweise grundsätzlich von der schließlichen tatsächlichen Realisierung eines Bauvorhabens zu trennen). So könnten die Pyramidien altägyptischer Pyramiden nach Ansicht Winklers [Winkler, DISS. 2001] Modellvorlagen für schließlich auszuführende Pyramidenbauten gewesen sein.
Markant an erhaltenen altägyptischen Pyramidien ist, das sich aus diesen laut Winkler Proportionsverhältnisse einer zugehörigen Pyramide (im quasi verkleinerten modellhaften Maßstab) ablesen lassen, die auch für die schließlich zu erbauenden Großbauten galten. Damit wären (nach Winkler [Winkler, DISS. 2001]) altägyptische Pyramidien (bei wechselnden, proportional vergrößernden Grundmaßen) quasi Modellvorentwürfe für zu erbauende Pyramiden gewesen ([siehe hierzu über Winklers Theorie auch z.B. [Müller-Römer, 2011]).

5.4 Additive Bauweise wiederspricht nicht einer geplanten Baueinmessung im alten Ägypten
Eine durchdachte Bautenplanung, die von vorneherein mit mehreren (berechenbaren und planbaren) Optionen spielt ist selbst für sich allmählich entwickelndes Baumeistertum im Altertum keine abwegige Annahme und wäre demnach auch für das ablesbar bautechnisch über große Zeiträume experimentell agierende alte Ägypten vorstellbar gewesen.
Mögen es Baukosten, Materialbeschaffungsfragen, statische Fragen, sich verändernder Baustil oder Zeitgründe gewesen sein, die zu einem Prinzip der aufeinanderfolgenden Bauweise von jeweils repräsentativ fertiggestellten Pyramiden-Baustufen im alten Ägypten geführt haben könnten, in denen schalenartig schräg anliegende Bauschichten aufeinanderfolgend verbaut wurden:
solchen Bautechniken widerspricht die exakt mögliche Einmessung der jeweils äußersten (repräsentativen) Schicht einer Pyramide über den Seked nicht zwangsläufig.
Auch weil für altägyptische Pyramiden keine überlieferten Baupläne vorliegen resultiert daraus nicht zwangsläufig die Annahme, dass altägyptische Baumeister keine ursprünglichen Gestaltungsvisionen von Pyramiden entwickelten und dabei nicht auch einzumessendes Gesamtareal in das Blickfeld ihrer Aufmerksamkeit von vorneherein mit einbezogen. Vielmehr entsprechen solche Vorgehensweisen auch heute herkömmlicher gestalterischer Praxis im Bereich des Erbauens und Bebauens von Arealen und damit der architektonischen Planung im Allgemeinen.

5.5 Gestalterische und handwerkstechnische Relativierung von Graefe´s Annahmen
Graefes auf den bautechnischen Pragmatismus ausgerichtetes Hauptargument, dass ein Einmessen von Pyramidenbaustufen durch die alten Ägypter über die Diagonale eines Pyramidengrundrisses mit einem Steigungsverhältnis von 1 : 1 Strecken, für die alten Ägypter einfacher zu praktizieren gewesen wäre als ein (nach Graefe) komplexeres Einmessen über den Seked kann mit einfachen handwerklichen, kunsthandwerklichen und gestalterischen Argumenten wiederlegt werden, die sich experimentalarchäologisch und mathematisch begründen lassen.


5.6 Die alten Ägypter als versierte Gestalter
Die alten Ägypter waren versierte Gestalter. Ihre verwendeten Werkzeuge, Instrumentarien und Methoden auch im Bereich der Vermessungstechnik und proportionierenden Gestaltung entwickelten sie vermutlich über viele Jahrtausende hinweg und in Übereinkunft mit der von ihnen angewendeten speziellen Mathematik (siehe z.B. [Aufs.1, 1978] [Emilius, Aufs., 1910] [Gandz, Aufs., 1930] [Moosbrugger-Leu, A6] [Arnold, 1994] [Lepsius, 1865] [Goyon, 1990] [Lehner 2004] [Lehner/Hawass, 2017] [Lehmann, 1994] [Minow, 1996] [Müller-Römer, 2011] [Pfeiffer, 1986; Bd. I u.II] [Robins/Shute, 1987] [Robins, 1994] [Roik, 1993] [Rooney, 2016] [Stadelmann, 1990;1997] [Winkler, Diss. 2001] [Flinders, Eb., 2020].
Die Anwendung des Einmessens mit Seil und Schnur im alten Ägypten, ebenso die in Verbindung damit stehende Grundeinteilung altägyptischer Längenmaße wie die der alten ägyptischen Königselle (siehe [Lepsius 1865]), und des Remens (Pygon; siehe [Roik, 1993]) führen in der Detailanalyse und im Vergleich mit verschiedenen Maßwertzusammenhängen, die an altägyptischen Pyramiden ablesbar sind zu der Annahme, dass die intellektuelle innovative Leistung der alten Ägypter, ein Seked-System zur Einmessung z.B. von Pyramiden verwendet zu haben, vom Innovationsniveau her nicht abwegig ist (siehe zum Seked und zur Stammbruchrechnung der alten Ägypter z.B. [Cantor, 1907] [Lepsius, 1865] [Robins/Shute, 1987] [Müller-Römer, PDF 2016]). Diese Annahme lässt sich insbesondere untermauern bei Betrachtung der reichhaltigen fachpraktischen Möglichkeiten handwerklicher Vorgehensweisen in derVermessung mit Schnur, Seil, Zirkel und Richtscheit (bzw. Lineal) (vgl. z.B. das Steinmetz- und Steinbildhauerhandwerk insgesamt u. z.B. [Hecht, 1997] im Übereinklang mit arithmetischen Grundlagen, die sich z.B. in der von den alten Ägyptern verwendeten Stammbruchrechnung und der Verwendung bestimmter (arithmetisch markanter) Proportionen äußern. Hierbei kann auch z.B. die (noch diskutierte und ohne relevante Überlieferungen vermutlich nicht abschließend klärbare) hypothetische Konstruktion eines Rechten Winkels durch die alten Ägypter über das summarische Tripel 3 : 4 : 5 und hypothetisch andere summarische Tripel argumentativ herangezogen werden (siehe zum Vergleich auch die Proportionen der Cheopspyramide; vgl. Berechnungsanhang [...]). Solche besonderen arithmetischen ganzzahligen Zahlenkonstellationen werden gemeinhin als sog. pythagoreische Tripel (genauer: sog. primitive pythagoreische Tripel) bezeichnet obwohl sich bereits seit längerem abzeichnet, dass die zugrunde liegenden arithmetischen Phänome weit vor Pythagoras und auch im alten Ägypten bekannt gewesen sein müssen [Maor, 2007]).

5.7 Die gestalterische Übertragung von Proportionen auf altägyptische Vermessungstechnik
Es ist davon auszugehen dass Proportionen (und damit einhergehend allgemeinere Proportionslehre) zum Tagesgeschäft auch altägyptischer Gestalter gehörten. Der Zugang zu grundlegenden (arithmetisch markanten) Proportionen ergibt sich aus relativ einfach zu entdeckenden arithmetischen Grundlagen, also aus der grundlegenden Auseinandersetzung mit den strukturbildenden Eigenschaften der Mathematik; genauer: z.B. der heute sog. natürlichen Zahlen (siehe z.B. [Cantor, 1907] [Crilly, 2009,8-19] [Maor, 2007]). Komplettiert werden können solche Einblicke durch die handwerklichen und kunsthandwerklichen Einmessmöglichkeiten etwa mit Seil und Schnur – und mit damit in Verbindung stehenden möglichen „Einmesstricks“. Manche Zusammenhänge können sich dabei in der Historie des Vermessens und Einmessens beinahe von selbst in Form von Synergien (bei der Ausübung andersartiger Tätigkeiten), sowie durch „Geistesblitze“ oder Zufällen ergeben haben. So geben etwa tradierter und zwangsläufig sich ergebender handwerklicher und kunsthandwerklicher Umgang mit Materialien wie Riemen, Schnur und Seil (siehe z.B. Nähen, Falten, Zusammenlegen, Aufrollen, Aufwickeln etc.) viele Möglichkeiten für den einmesstechnischen Umgang mit solchen Vermessungswerkzeugen beinahe von selbst vor. Hierzu ein Beispiel: wird eine Vermessungsschnur nicht ordentlich zusammengelegt, kann sie sich bei späterem Gebrauch verheddern. Das Abmessen und Maßnehmen über körpereigene Proportionen ergibt sich im alltäglichen Umgang mit Messwerkzeugen etwa aus Riemen, Schnur und Seil stellenweise von selbst, etwa wenn ein Vermessungsseil zum Aufrollen um Schulter und Ellenbogen geschlagen und so zusammengelegt wird, wobei spezifische Körperabmessungen quasi aud Riemen, Seil, Schnur übertragen werden können.
Viele der vielfältigen messtechnischen Möglichkeiten des Umgangs mit Riemen, Schnur und Seil ermöglichen dabei grundlegende Einblicke in die "arithmetischen Verbindungen" der natürlichen Zahlen untereinander.
Ein gutes Beispiel für die Anwendung solchen mathematischen Grundlagenwissens der alten Ägypter ist die Vermessungsschnur (bzw. auch als dünnes Vermessungsseil oder Lederriemen möglich) der altägyptischen Schnur- und Seilvermesser in ihren theoretisch möglichen Variationen und streckentechnischen proportionalen Übertragungen; dabei ganz unabhängig von der Frage wieviele abgeknotete gleichlange Teilstrecken sich auf einer Schnur befunden hätten. Allein die Existenz von auf z.B. Messschnur vorgenommenen Teilstreckenabtragungen kann als Indiz von intensiverer arithmetischer Auseinandersetzung gedeutet werden (vgl. z.B. [Gandz, Aufs. 1930] [...] [Müller-Römer, PDF, 2016).

5.8 Alternative Einmessmethoden zur Erzeugung der Proportionen der Cheops-Pyramide
Die Bezugnahmen auf das Einmesskonzept über den Seked als generalisierte Methode für das in Frage kommende Einmessen altägyptischer Pyramidenbauten wird aus handwerklicher, kunsthandwerklicher und damit auch messtechnischer Sicht überbewertet. Auch ist eine in der Baukunst der alten Ägypter angeblich bewusst vorgenommene gestalterische Anwendung des sog. Goldenen Schnitts (…[…] auf die Gestaltung der Cheopspyramide als Baukörper sogar abzulehnen.
Grund hierfür ist die grundlegend einfache Möglichkeit, den Baukörper der Cheopspyramide einmessungstechnisch ausreichend exakt zu imitieren, indem ein einfacher Seilspanntrick zur Anwendung kommt, der auf jedwede Rechenarbeit verzichtet und auch keinerlei Kenntnis über den Goldenen Shcnitt erfordert: hierfür wird lediglich die jeweilige spezifische Höhe einer zu verbauenden Steinblockschichthöhe - bei Einmessung über die jeweils spezifische Kantenlänge (also eine diagonale Ecken-Einmessmethode wie grundlegend bei Graefe [...]) – ermittelt, anschließend streckentechnisch halbiert und nachfolgend verdreifacht. Diese Vorgehensweise ist durch einfaches exaktes Zusammenlegen von Messwerkzeugen aus Riemen, Schnur oder Seil möglich und erfordert dabei auch keinerlei festgelegte streckentechnische Grundeinheit (wie z.B. meh, schesep, djeba (vgl. [Lepsius, 1865]).
Es kann aufgrund der vorgenannten Argumente für sämtliche Spekulationen über den Ursprung und Sinn der Proportionen der Cheopspyramide sowie der Pyramidenabmessungen also nach zwei wesentlichen Gesichtspunkten neu bewertet werden während zeitgleich jedwede anderslautende Spekulation nach dem Ockham´schen Sparsamkeitsprinzip ignoriert werden kann und demnach sogar abgelehnt werden muss, solange keine weiterführenden Originalquellen zum Thema entdeckt werden:

I.: die Proportionen der Cheops-Pyramide können sich planungstechnisch und einmesstechnisch aus dem simplen Proportionszusammenhang von 2 : 3 Streckenlängen die über die Kanten eingemessen wurden ergeben haben.

II: die Einmessmethode stellt eine adaptierte (erweiterte) Methode von Graefe´s Annahme des Einmessens eines Pyramidenbaukörpers über die Kante in den Eckbereichen einer Pyramide dar und ist damit aus handwerklicher bzw. kunsthandwerklicher Sicht als pragmatisch und als mit einfachsten Mitteln technisch durchführbar zu werten.

Ob und inwiefern die oben getätigten Feststellungen konkretere ableitbare Annahmen zu von den alten Ägyptern potenziell angewendeten Bautechniken zur Errichtung von Pyramidenbaukörper ermöglichen, bedarf weitergehenderer Erforschung.
Sämtliche Theorien, die versuchen, die Chopspyramide als Bauwerk und die Abmessungen und Proportionen der Cheopspyramide in Verbindung mit dem spätestens seit der griechischen Antike tradierten Proportionsprinzip des sog. Goldenen Schnitts (vgl. […]) in Verbindung zu bringen, sind damit aus gestalterischer, bautechnischer und vermessungstechnischer Sichtweise abzulehnen, wenn damit natürlich nicht generalisiert ausgeschlossen werden kann (und hier auch nicht generell ausgeschlossen werden soll), dass die alten Ägypter Kenntnis vom Proportionsphänomen des Goldenen Schnitts besaßen.
Die interessanten Maßwertzusammenhänge die von vielen Autoren als Beweggrund dafür angenommen werden, das Proportionsphänomen des Goldenen Schnitts in die Cheopspyramide hinein zu interpretieren, ergeben sich aus geometrischen Zusammenhhängen der Pyramidenform annähernd von selbst, wenn wir von einer geometrischen Pyramidenform mit einer Kantenlänge von 3 Streckeneinheiten zu 2 Streckeneinheiten Höhe ausgehen, wie die nachfolgenden Berechnungen aufzeigen:

Nachweisberechnungen für die Proportionen der Cheopspyramide
(Bei den nachfolgenden Nachweisberechnungen gilt, dass Messtoleranzen aus handwerklicher, kunsthandwerklicher und bautechnischer Sichtweise notwendigerweise hinzu zu kalkuklieren sind und dass Berechnungsexaktheiten damit nicht übertrieben zu bewerten sind.)

(Berechnungen folgen)


Einmessen der Cheopypyramide über die Kanten im Vergleich zu einer Einmessung über die Böschungen
Prinzip des in der Ägyptologie diskutierten Seked-Konzepts ist das jeweilige Einmessen eines (potenziellen) Rücksprungs gewählter Größenordnung im messtechnischen Verhältnis zu jeweils eine Elle an Bauhöhe dass die alten Ägypter im Pyramidenbau laut gängiger Theorien angewendet haben sollen (siehe z.B. die Erörterungen zum Seked-Konzept durch [Müller-Römer, 2011] und Winklers Einmessvorschlag für altägyptische Pyramiden mit dem Seked-Konzept [Winkler, 2001].
Bei Anwendung des Einmessens über den Seked würde sich demnach eine Pyramidenböschungslänge nach dem Prinzip des vermessungstechnisch einzurückenden Abschlags von der Grundmaßeinheit Elle ergeben: Wird so mit stets gleichbleibendem Rücksprung bei allmählich höher werdender verbauter Baumasse eingemessen, entsteht ein spezifischer Böschungsneigungswinkel. Dabei ist argumentativ zu berücksichtigen, dass die Einmessung eines Pyramidenbaukörpers über die sich jeweils ergebende Böschungslänge in Kombination mit dem entsprechenden Einrücken von verbauten Höhenschichten eine der wenigen überhaupt in Frage kommenden möglichen Einmessmethoden für Pyramidenbaukörper darstellt (vgl. [Müller-Römer, 2011] und die von … entdeckten Höhenmeslinien an altägyptischen Pyramidenböschungen).


Grundlegendes zum Einmessen mit Riemen, Schnur und Seil
Das Einmessen mit Riemen, Schnur und Seil, die potenzielle Verwendung von Zirkel und Richtscheit als planerischen Vermessungs- und Zeichenwerkzeugen [...], das Seked-Konzept, die altägyptische Mathematik mit ihrer spezifischen Stammbruchrechnung sowie die Grundeinteilungsprinzipien altägyptischer Messtäbe (z.B. alte ägyptische Königselle, oder auch meh) in Affinität mit den Einteilungen von Messriemen, Messchnüren und Messseilen der alten Ägypter beeinflussten sich in ihrer Entwicklung vermutlich über große Zeiträume. Intensiver zu beforschen wäre hierbei anbetrachts solcher innovativen Entwicklungslinien auch potenzieller interkultureller Austausch (siehe z.B. zum Vergleich die baylonischen und altägyptischen Arten und Weisen des Rechnens mit Stammbrüchen und z.B. die Diskussion über die mesopotamische Nippur-Elle [Lehmann, B13] [N\W5]).
Bei der altägyptischen Stammbruchrechnung [Robins/Shute, 1987] resultiert eine von den Grundlagen her simple (jedoch schwierig zu beherrschende) Rechenweise vermutlich auch aus dem Umgang mit Strecken-Proportionen [qed]. Dieses Prinzip lässt sich auch aus der Grundeinteilung der altägyptischen Königselle im Abgleich mit dem Remen (Pygon) ablesen.
Dabei nimmt diese Art und Weise des Rechnens zwangsläufig insgesamt Bezug auf die grundlegende arithmetische Analyse des Zahlenraums (der heute sogenannten natürlichen Zahlen).
Arithmetische Grundlagen erschließen sich durch das experimentelle und stellenweise sogar spielerisch mögliche Analysieren von Anzahlen von gleichartigen Grundelementen (z.B. aneinandergereihte und zu Figuren ausgelegte Anzahlen; siehe insgesamt auch die Thematiken der Arithmetik im Allgemeinen, z.B. bei [Cantor, 1907] und der figurierten Zahlen z.B. bei [Crilly, 2009]).
Erwähnenswert ist außerdem, dass der Papyrus Rhind (Rhind Mathematical Papyrus oder auch kurz RMP) als eine der wenigen altägyptischen mathematischen Quellen (siehe auch z.B. Moskauer Papyrus) weit nach Ende des Alten Reichs und der Erbauung altägyptischer steinerner Monumentalpyramiden verfasst wurde [Robins/Shute, 1987] .
In ihrer Gesamtheit passen hypothetische altägyptische Verfahren des Einmessens, Proportionierens und Berechnens im Hinblick auf die Anwendungsmöglichkeiten in der altägyptischen Pyramidenbaukunst stimmig zusammen und werden dabei auch durch die sich vermutlich früh entwickelnde Kunst des Vermessens und Aufreissens mit Zirkel und Richtscheit (bzw. Lineal) bestätigt, die insbesondere für den Steinmetzberuf der vergangenen Epochen typisch und stilbildend war [Hecht, 1997] und ihre Vorbilder bereits weit vor der Antike finden dürfte.

5.9 Gestalterisch-handwerklicher Umgang mit Proportionen im alten Ägypten
Der gestalterische, handwerkstechnische und bautechnische Umgang mit Proportionen ist aus vielen Bereichen gestalterischen Wirkens der alten Ägypter abzulesen (z.B. grundlegender Proportionskanon [Robins, 1994], z.B. grundlegender Entwurf eines Bauwerks (nach Winkler; siehe altägyptische Pyramidien [Winkler, Diss. 2001]), z.B. die Ermittlung der einmessbaren Neigung einer Pyramide über die Seitenflächen (siehe Seked sowie Pyramidenkörperberechnungen im Allgemeineren z.B. bei [Robins/Shute, 1987]), z.B. zur Anfertigung von Werkstücken aus Stein mit angearbeiteten Winkelungen wie etwa Verkleidungssteinen für Pyramiden (siehe z.B. bei [Stadelmann, 1990, 1997]), die notwendigerweise entsprechend präzise Einmessungstechnologien für die Durchführung solcher Steinmetzarbeiten erfordert hätten (siehe hierzu z.B. [Stocks, Ebook, 2004] [Müller-Römer, 2011] über das von den alten Ägyptern nachweislich praktizierte Einmessen der Seiten eines Natursteinblocks mit Schnüren und Stocks Theorie zur Einmessung von an Naturstein anzuarbeitenden Werksteinoberflächen mittels einer an zwei gleichlangen Stöckchen befestigten Schnur [Stocks, Ebook, 2004]).


5.11 Die Proportionen der Roten Pyramide von Dahschur
Mit der Roten Pyramide von Dahschur begegnet uns die annähernd einfachst mögliche vorstellbare Proportionsform eines Pyramidenbaus, wenn davon ausgegangen werden kann, dass die alten Ägypter mit der Roten Pyramide einen ursprünglichen Neigungswinkel (als Böschungswinkel) von 45° angestrebt haben sollten. Über diese Annahme wird in der Ägyptologie diskutiert, obwohl Neigungswinkelangaben in der Fachliteratur dahingehend nicht eindeutig sind (siehe z.B. [Arnold, 1994] [Stadelmann, 1997] [Lehner, 2004]).
Gemäß dem Fall, dass die alten Ägypter für die Rote Pyramide tatsächlich einen ursprünglichen Neigungswinkel von 45° (also eine von der Planung her simple Quadratefigurkonstruktion mit einem einzumessenden Neigungswinkel von 1 : 1 Höhe zu Breite) angestrebt haben und die Frage ausklammernd, ob es gestalterische oder bautechnische Gründe waren, die zu einer solchen Pyramidenform der alten Ägypter geführt haben, kann im Sinne von Graefes Theorie das folgende angenommen werden (VGL. MÜLLER_RÖMER_ZITAT):
Bei der Roten Pyramide von Dahschur wären es die Seitenflächen gewesen, die über ein vermessungstechnisch einfachst mögliches Einmessen im Proportionsverhältnis von 1 : 1 (Breite zu Höhe) hätten eingemessen werden können (und nicht die Kanten über einen Messwinkel von 45° über die Ecken und Kanten der Pyramide).
Nach Graefe hätte sich für die Rote Pyramide von Dahschur mit ihrem hypothetisch angenommenen Neigungswinkel von annähernd 45° diagonal über die Kante gemessen ein einzumessender Neigungswinkel von ca. 54,8° ergeben. Auf dieses Bauwerk angewendet greift Graefe´s Theorie also nicht im Sinne der Diagonaleinmessung über die Kante einer Pyramide: Bei der Roten Pyramide von Dahschur wäre das Einmessen der Seitenflächen über ein Proportionsverhältnis von 1 : 1 (Breite zu Höhe) damit sogar indirektes Vorbild für das Seked-Konzept gewesen.
Graefe´s Argumente würden dann an Kraft verlieren: Die alten Ägypter hätten aber bei Anwendung dieser vorstellbaren Einmesstechnologie trotz der von Graefe vermuteten Vereinfachung des Bauprozesses einer Pyramide ohne vorherige Modellversuche o.ä. keine Hinweise darauf besitzen können, welche Form einer Pyramide im Ergebnis solcher Vermessungspraxis entstanden wäre. In solchen vorstellbaren Modellversuchen erschließen sich weiterführendere Einmessstrategien experimentell jedoch sehr rasch und weiterführend komplex, wobei wir im Hinblick auf die Entwicklung ihrer Vermessungstechnologien durch die alten Ägypter von großen Zeiträumen und von einer stark motivierten innovativen Auseinandersetzung ausgehen können.

Pyramidenbauplanung: Hypothetisches Vorgehen eines altägyptischen Baumeisters
Für die Bauplanung einer Großpyramide im alten Ägypten wären für einen altägyptischen Baumeister vielfältige Aspekte in der Planung zu berücksichtigen gewesen. Einer dieser wesentlichen Aspekte kristallisiert sich in der Planung der Höhen verschiedener, Steinblockschichten des Kernmauerwerks einer Pyramide heraus, wie es z.B. an der Cheops-Pyramide zu beobachten ist: Die Höhen der von den alten Ägyptern ablesbar immer wieder nivellierten Steinblockschichten der Cheopspyramide (siehe z.B. [Müller-Römer, 2011] sowie die Vermesusngen von Flinders insgesamt [Flinders, Ebook, 2020)] weichen teilweise stark voneinander ab und sind generell sehr variabel gehalten (siehe z.B. [Flinders, Ebook 2020] [Goyon, 1990]).
Der Grund für die unterschiedlichen Höhen der Steinblockschichten des Kernmauerwerks der Cheopspyramide (und so lässt es sich für altägyptische Bauwerke vermutlich - bis auf spezielle Ausnahmen - generalisieren) liegt zuvorderst wohl in der Materialökonomie: Wäre ein Monument wie die Cheops-Pyramide auch in den Bereichen des Kernmauerweks mit einheitlichen Steinblock-Schichthöhen ausgeführt worden, hätte dies zu einem exorbitanten Bedarf an geeignetem Natursteinmaterial geführt (bevor „Normsteine“ als Konzept im alten Ägypten eingeführt wurden (vgl. [...]): Die alten Ägypter hatten aber beim Abbau von Naturstein - so wie es sich noch heute gemeinhin gestaltet – insbesondere angesichts der Größe z.B. der Cheops-Pyramide und des in der Cheops-Pyramide schließlich verbuaten Volumens an Natursteinmaterial - mit den ganz alltäglichen Herausforderungen der Natursteingewinnung zu kämpfen: Es musste überhaupt geeignetes Natursteinmaterial in geeigneten Schichthöhen in ausreichenden Mengen gefunden und
abgebaut werden. Die Erschließung ganzer Steinbruchareale (siehe z.B. [Lehner, 1985]) sind deshalb auch auf dem Plateau von Giseh abzulesen, weil zu einer gesunden bautechnischen Ökonomie für die alten Ägypter zwangsläufig auch die Frage nach Transportwegen und nach Transportlogistik im Allgemeinen gehört haben muss: so wäre eine möglichst einfache Einmessmethodik von Vorteil bei Erbauung der Cheopspyramide gewesen und dies obwohl attestiert werden kann dass Einmessaufgaben eher einen minimalen Aufwand im Hinblick auf andere bei Erbauung der Cheopspyramide relevante Aufwandsaspekte bedeutet haben dürften.

Winklers Theorie zu altägyptischen Pyramidien
Winkler hat in seiner Dissertation die Theorie aufgestellt, dass die Pyramidien altägyptischer Pyramiden quasi maßstabsgetreue Modellvorlagen für schließlich erbaute Pyramiden waren (siehe [Winkler, Diss. 2001]). Nach Winkler wären aus den Abmessungen der gefundenen altägyptischen Pyramidien für altägyptische Bauhandwerker demnach relevante Abmessungen für die Erbauung einer Pyramide aus einem Pyramidion einer Pyramide ablesbar gewesen. Damit hätten Maßwertzusammenhänge für die Herstellung von Vermessungswerkzeugen direkt aus den Pyramidien abgeleitet werden können (durch proportionale Streckenvervielfachung).

Müller-Römer schreibt zu Winklers Theorie:

[ZITAT:]
Wie Winkler zeigt, stehen die Abmessungen der Basis eines Pyramidion (gemessen in
Handbreit bzw. Finger) zur Basis der entsprechenden Pyramide (gemessen in Ellen) stets in
einem geraden Verhältnis:
Rote Pyramide: 21 Handbreit zu 420 Ellen und damit 1 H Pyramidion zu 20 E Pyramide
Amenemhet III: 25 Handbreit zu 200 Ellen und damit 1 H Pyramidion zu 8 E Pyramide
pP Rhind (aus dem Papyrus heraus gemessen) 1 H Pyramidion zu 1 E Pyramide.
[ZITAT ENDE] [Müller-Römer, PDF, 2009]

Nach Müller-Römer kann mit einfachen Berechnungen aufgezeigt werden, dass ein einfaches Einmessen eines Pyramidenbaukörpers über die Kante eine komplexere Kenntnis der alten Ägypter über Pyramidenproportionen und anwendbare Grundmaßsysteme und Grundabmessungen sich nicht gegenseitig ausschließen müssen. Begründbar ist dies damit, dass für die Einmessung eines Baukörpers sowie für die Erzeugung von Proportionen für z.B. pyramidale Bauformen verschiedenartigste Einmessmethoden – und damit Proportionierungsmethoden in Frage kommen können die ihrem jeweiligen spezifischen Einsatzzweck gerecht werden würden (siehe z.B. die bereits aufgezeigten Einmessmethoden der Diagonal-Einmessung über die Kanten nach Graefe, die Einmessung über die Böschungslänge, auf die Müller-Römer Bezug nimmt sowie die bereits seit längerem diskutierte Einmessmethode über den Seked mit z.B. Winklers Adaption als technisch in Frage kommende Anwendungsmöglichkeit (beschreiben...).

Allgemeine Hinweise:
Namensgebungen u. Datierungen - sofern unkommentiert - nach [von Beckerath, 1997
Zuletzt geändert von Sculpteur am 24.10.2022 11:48, insgesamt 57-mal geändert.
MERKSÄTZE für den Quintenzirkel:
(vorwärts:) (F)reude (b)efördert (es)sentielle (As)piranten (des) (Ges)angs.
(rückwärts): (ges)tern (des) (as)tes (es)chenknospe [der Wind] (b)lies (f)ort.
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Re: Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

Beitragvon Sculpteur » 26.08.2022 15:32

Plateau Giseh Ausdehnung in Metern.jpg
Abb. 1:
Platteau von Giseh, Ägypten: Ausdehnungen in Metern
M 1 : 5000 Maßeinheit: Meter
Quelle der Bemaßungs-Informationen: E-Book-Version des 1883 erschienenen Werkes:
„The Pyramids and Temples of Giseh“ von Mathew Flinders Petrie (1853 - 1942).
E-Book-Quelle: [Flinders, E2]
Quelle Originalwerk: [Flinders Petrie, 1883]
Werte ergeben sich aus den umgerechneten Vermessungswerten Flinders Petries in Inches
(englisches Zoll; 2,54 cm = 1 Inch)
Für die Pyramiden-Seitenlängen sind Flinders Petries veröffentlichte Durchschnittswerte angegeben.
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Plateau Giseh Ausdehnung in Inches.jpg
Abb. 2:
Platteau von Giseh, Ägypten: Ausdehnungen in Inches
M 1 : 5000 Maßeinheit: Inches (britisches Zoll, 1“ = 2,54 cm)
Quelle der Bemaßungs-Informationen: E-Book-Version des 1883 erschienenen Werkes:
„The Pyramids and Temples of Giseh“ von Mathew Flinders Petrie (1853 - 1942).
E-Book-Quelle: [Flinders, E2]
Quelle Originalwerk: [Flinders Petrie, 1883]
Werte ergeben sich aus den umgerechneten Vermessungswerten Flinders Petries in Inches
(englisches Zoll; 2,54 cm = 1 Inch)
Für die Pyramiden-Seitenlängen sind Flinders Petries veröffentlichte Durchschnittswerte angegeben.
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Plateau von Giseh spezifisches Hexagon.jpg
Abb. 3:
Platteau von Giseh, Ägypten:
Spezifisches Hexagon (r = 500 RC)
M 1 : 5000 Maßeinheit: Meter
AKE = alte ägyptische Königselle
500 AKE bei einer AKE von ca. 52.388 cm sind:
500 · 0.52388 m = ca. 261.94 m
© me Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Plateau von Giseh, spezifisches Proportionsdreieck T1.jpg
Abb. 4:
Platteau von Giseh, Ägypten: Dreieckssegment T 1
M 1 : 5000 Maßeinheit: Meter
Quelle der Bemaßungs-Informationen: E-Book-Version des 1883 erschienenen Werkes:
„The Pyramids and Temples of Giseh“ von Mathew Flinders Petrie (1853 - 1942).
E-Book-Quelle: [Flinders, E2]
Quelle Originalwerk: [Flinders Petrie, 1883]
Werte ergeben sich aus den umgerechneten Vermessungswerten Flinders Petries in Inches
(englisches Zoll; 2,54 cm = 1 Inch)
Für die Pyramiden-Seitenlängen sind Flinders Petries veröffentlichte Durchschnittswerte angegeben.
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Plateau von Giseh, spezifisches Proportionsdreieck T1 und Harpedonaptenschnur.jpg
Abb. 5:
Platteau von Giseh, Ägypten: Dreieckssegment T 1 und Prinzip Harpedonaptenschnur
M 1 : 5000 Maßeinheit: Meter
Quelle der Bemaßungs-Informationen: E-Book-Version des 1883 erschienenen Werkes:
„The Pyramids and Temples of Giseh“ von Mathew Flinders Petrie (1853 - 1942).
E-Book-Quelle: [Flinders, E2]
Quelle Originalwerk: [Flinders Petrie, 1883]
Werte ergeben sich aus den umgerechneten Vermessungswerten Flinders Petries in Inches
(englisches Zoll; 2,54 cm = 1 Inch)
Für die Pyramiden-Seitenlängen sind Flinders Petries veröffentlichte Durchschnittswerte angegeben.
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Plateau von Giseh, potenzielles Einmessprinzip Ausdehnung Nord-Süd mit Harpedonaptenschnur.jpg
Abb. 6:
Platteau von Giseh, Ägypten: Potenzielle Einmessung in Richtung Nord-Süd (Beispiel)
M 1 : 5000 Maßeinheit: Meter
Quelle der Bemaßungs-Informationen: E-Book-Version des 1883 erschienenen Werkes:
„The Pyramids and Temples of Giseh“ von Mathew Flinders Petrie (1853 - 1942).
E-Book-Quelle: [Flinders, E2]
Quelle Originalwerk: [Flinders Petrie, 1883]
Werte ergeben sich aus den umgerechneten Vermessungswerten Flinders Petries in Inches
(englisches Zoll; 2,54 cm = 1 Inch)
Für die Pyramiden-Seitenlängen sind Flinders Petries veröffentlichte Durchschnittswerte angegeben.
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
;öglicher Proportionsreigen 12-Streckenschnur, Beispiel.jpg
Abb. 7:
Proportionsreigen des Hexagons und der 12-Strecken-Schnur (Beispiel)
(bei Aufspannart der 12-Strecken-Schnur nach Moosbrugger-Leu (als "Kreuzschlag" benennbar), siehe [Moosbrugger-Leu, A2020]
M 1 : 5000 Maßeinheit: Meter
Quelle der Bemaßungs-Informationen: E-Book-Version des 1883 erschienenen Werkes:
„The Pyramids and Temples of Giseh“ von Mathew Flinders Petrie (1853 - 1942).
E-Book-Quelle: [Flinders, E2]
Quelle Originalwerk: [Flinders Petrie, 1883]
Werte ergeben sich aus den umgerechneten Vermessungswerten Flinders Petries in Inches
(englisches Zoll; 2,54 cm = 1 Inch)
Für die Pyramiden-Seitenlängen sind Flinders Petries veröffentlichte Durchschnittswerte angegeben.
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Einmessung mit 12-Strecken-Schnur nach Moosbrugger-Leu und Variationen.jpg
Abb. 8:
Einmessung mit 12-Strecken-Schnur nach Moosbrugger-Leu (und Variationen)

Informationen für Abb. I; II und III nach Moosbrugger-Leu (vorbehaltlich möglichen und noch zu klärenden Irrtümern zur Datierung bei Abb. II)

Quelle [Moosbrugger-Leu, A6]: Mittelalter: Zeitschrift des Schweizerischen Burgenvereins. Band (Jahr) 5 (2000), Heft 1, PDF erstellt am: 05.08.2020, (persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-165007), ein Dienst der ETH-Bibliothek, Zürich / Schweiz, 2020: Moosbrugger-Leu: Die Schnurvermessung im mittelalterlichen Bauwesen, 2000
© me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Plateau von Giseh Proportionsdreieck T2.jpg
Abb. 9:
Die Distanz zwischen der Chepren-Pyramide (Mittelpunkt Basiskantenlänge Südkante) und der Mykerinos-Pyramide (Nordostkante) lässt sich planerisch hypothetisch mti einer Messschnur von 72 Einheiten Länge (bei Grundeinteilung in 1-Streckenschritte) planen und bei Verwendung entsprechender Grundmaßeinheiten (Remen = 0,374 m) in die auf dem Plateau von Giseh verbaute Realität umsetzen.
Das summarische Tripel 25 : 60 : 65 für a, b und c einer rechtwinkligen Dreiecksfigur erzeugt dabei eine Streckenaufteilung von proportional (1/2 * 1000 Remen) : (1/2 * 1300 Remen) : (1/2 * 1300 Remen) : (1/2 * 1000 Remen) : (1/2 * 1300 Remen) : (1/2 * 1300 Remen) bei 1 Remen = 0,3704 m nach [Flinders E2].
Editierungshinweis: an diese Stelle verschoben am 01.04.2024: -

Hinweis: Beiträge werden insgesamt noch editiert. Abbildungsbezeichnungen werden stellenweise korrigiert und können deshalb stellenweise temporär voneinander abweichen. Angehängte Abbildungen werden aus technischen Gründen von unten nach oben geordnet angehängt angezeigt. Anhänge werden unabhängig von Ihrer Zuordnung zu den verschiedenen Themenposts des Verfassers im Thema durchgängig chronologisch nummeriert.

Nachweisberechnungen (Cheopspyramide):
Basiskantenlänge (nach Flinders) = ~230,36 m
Höhe (nach Flinders und andere Autoren) = ~146,60 m
halbierte Basiskantenlänge = 230,36/2 = 115,18 m
Diagonale einer quadratischen Grundfläche bei Seitenlänge a = 115,18 m = 115,18 * sqrt(2) = 115,18 * ~1,4142 = ~162,8891m

Berechnung der rechtwinklig-dreieckigen Querschnittsfläche (Schnitt über die Eck-Diagonale):
(ausgehend von der Annahme dass die Cheopspyramide über eine BAsiskantenlänge von 440 Ellen bei einer korrespondierenden Höhe von 280 Ellen verfügt:)
Grundeinheit Elle; 1 Elle = 1 Einheit
halbierte Basiskantenlänge = 220 Ellen

Satz des Pythagoras:
a(diagonal) = (220 * ~1,4142) Einheiten = 311,124 Ellen
b = Höhe = 280 Ellen
c = sqrt(a²+b²)
c = Kantenlänge Cheopspyrmaide
c = sqrt(311,124² + 280²) Ellen
c = sqrt(~96798,14338 + 78400) Ellen
c = sqrt(175198,1434) Ellen
c = 418,5667729 Ellen
c = Kantenlänge Cheopspyramide

Proportionszusammenhang Kantenlänge : Höhe Cheopspyramide:
c : b = Proportionsfaktor
Proportionsfaktor = ~418,5667729 Ellen : 280 Ellen
Proportionsfaktor = 1,494881332
Proportionsfaktor = ~1,5

Proportionszusammenhang Kantenlänge Cheopspyramide : Höhe Cheopspyramide = ~1,5 : 1
Proportionszusammenhang Kantenlänge Cheopspyramide : Höhe Cheopspyramide = ~(3 : 2)

Für eine solchartige Einmesspraxis altägyptischer Pyramidenbaukörper (nach Graefe´s stellenweise adaptierter Theorie) swürde sprechen, dass viele nach Modularsystemen erbaute Bauwerke (z.B. Bauwerke aus Ziegelmauerwerk oder Steinquadern) auch heute noch nach dem Prinzip erbaut werden, dass zuerst Ecken aufgemauert werden und Seitenflächen anschließend unter Anwendung von Fluchtungen über die Ecken vermauert werden. Bei exakter Fluchtung (z.B: mittels Fluchtschnur) sind somit keine weiteren Einmessungen der Einbautiefe von z.B. Steinquadern mehr notwendig, sondern ausschließlich zusätzliche Kontrolleinmessungen der Waagerechten.

- siehe auch das Kurzvideo zur hier beschriebenen Einmesspraxis eines Pyrmaidenbauwerks mit den Proportionen der Cheopspyramide auf meinem Youtubekanal (Videolink siehe Quellen).

Im Modellversuch demonstiertes Einmessen eine sSteinblocks (über die Kantenlängeneinmessung über die Ecken-Diagonale)
https://www.youtube.com/watch?v=gT2KP1jJhoo

Im Modellversuch demonstriertes Ermitteln der Proportionen der Cheopspyramide (über die Kantenlängeneinmessung über die Ecken-Diagonale)
https://www.youtube.com/watch?v=5wfJW1C4tso
Zuletzt geändert von Sculpteur am 20.10.2022 11:07, insgesamt 28-mal geändert.
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Re: Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

Beitragvon Sculpteur » 18.09.2022 12:28

- Editierungshinweis: überarbeitet und verschoben am 01.04.2024: -

NACHWEISBERECHNUNGEN UND WEITERFÜHRENDE ERLÄUTERUNGEN


zu Abb. 10:
Modellentwurf der Proportionen der Cheopspyramide:
Abb. 10 Modellentwurf Proportionen Cheops-Pyramide mit 72 shesep-Schnur.jpg
Bildrechte: © me. Vinzenz Maria Hoppe, 2022
Abb. 10 Modellentwurf Proportionen Cheops-Pyramide mit 72 shesep-Schnur

Der Modellentwurf der Proportionen der Cheops-Pyramide ist mit einer 72 schesep langen Schnur bei einer Einteilung in schesep-Schritte möglich.
Mathematisch wäre der Entwurf im Hinblick auf die resultierende Böschungslänge nicht absolut exakt. Vermessungstechnisch dürfte diese Ungenauigkeit im Modellentwurf bei Verwendung einer 72 schesep langen Messschnur jedoch kaum aufgefallen sein. Hypothetisch ist es deshalb vorstellbar, dass die alten Ägypter diese Schnurfigur tatsächlich aufgespannt haben und möglicherweise auch für andersartige Vermessungszwecke bei Vermessung kleinerer Areale nutzten. Falls dem so gewesen wäre, liegt die mögliche Vermutung nahe, dass die alten Ägypter in diese spezielle Aufspanntechnik der 72 schesep langen Messchnur eine besondere und für sie interessante (möglicherweise "göttliche") Ästhetik hinein interpretierten.
Bautechnisch liegt die aus dieser Aufspanntechnik der 72 schesep langen Schnur resultierende Proportion im Hinblick auf die Errichtung einer statisch stabilen Pyramide vermutlich in einem "gesunden Mittelfeld".

Der Umfang der mit 3 Schnurstrecken von 72 schesep erzeugbaren Rechteckfigur, in die sich die Proportionen der Cheops-Pyramide (bei Annahme der Werte 440 Ellen Basislänge und 280 Ellen Höhe (siehe [...]) einbeschreiben lassen, beträgt:

bei
a = halbe Basislänge Schnurfigur
b = Höhe Schnurfigur

2a + b + 2a + b = 44 schesep + 28 schesep + 44 schesep + 28 schesep
44 schesep + 28 schesep + 44 schesep + 28 schesep = 144 schesep

Die Böschungslänge der resultierenden Pyramiden-Proportion beträgt bei Verwendung einer 72 schesep langen Schnur 36 schesep wobei 2 * 36 schesep 72 schesep ergeben.

Die Aufspanntechnik lässt sich entweder als Resultat von drei aufeinanderfolgenden Aufmessungen oder aber mit 3 verschiedenen, gleichlangen Messschnüren realisieren. Für die Aufspannung nach dieser besprochenen Methode ist das vorherigen Aufreissen eines Rechten Winkels erforderlich, was für die alten Ägypter keine Problematik darstellte.

Hinweis: 1 schesep = 1/7 alte ägyptische Königselle (nach [Lepsius, B18]).

Die tatsächlichen mathematisch korrekten Proportionszusammenhänge eines rechtwinkligen Dreickes mit a = 22 zu b = 28 Strecken (als Modellentwurf) ergeben sich wie folgt:

Berechnung rechtwinkliges Dreieck Satz des Pythagoras):
a_1 = 22
b_1 = 28
c_1= sqrt(a² + b²)
c_1 = 35,60898763

Differenz zwischen idealisiertem Böschungslänegnwert 36 schesep und 35,60898763 schesep (mathematisch korrektem Wert (im Modellentwurf):
36 schesep = idealisierter Böschungslängenwert in schesep (Modellentwurf; hier Hypothenuse c_2
35,60898763 schesep (mathematisch korrekter Böschungslängenwert in Bezunahme auf Modellentwurf, (hier korrekte Hypothenuse c_1)

Differenz c_2 zu c_1 (dezimal):
c_2 - c_1 = 36 - 35,60898763
36 - 35,60898763 = 0,39101237 (gerundet)

Differenz c_2 zu c_1 (prozentual; Überschussberechnung, weil c_1 den korrekten mathematischen Wert darstellt):
c_2 / (c_1 / 100) = 101,0980721 %
c_2 in % - c_1 in Prozent = Differenz (Überschuss) in Prozent
101,0980721 % - 100% = 1,0980721%
Differenz (Überschuss) in Prozent = 1,0980721%

Der Messfehler, der aus der Verwendung einer 36 Schesep langen Strecke (im Modellentwurf) für die Böschungslänge der Cheops-Pyramide bei tatsächlicher Ausführung auf Grundlage der genannten Schnurfigur-Konstellation hypothetisch entstanden wäre, hätte sich also auf gerundet etwa 1% belaufen. Dieser theoretische messtechnische Fehler muss den alten Ägyptern bei Anwendung der hier genanten Hypothese nicht einmal zwangsläufig aufgefallen sein: Selbst die Anfertigung und Verwendung von Vermessungs-Werkzeugen aus Schnur und Seil erzeugt stets minimale Toleranzen im Vergleich zu Idealen mathematisch korrekten Berechnungen von mit solchen Vermessungswerkzeugen durchführbaren Vermessungen. Im Idealfall hätten sich die genannten Unkonstanten im Verlauf der Einmessung der Cheops-Pyramide einfach ausgeglichen.
Es ist aber auch bekannt, dass an altägyptischen Pyramidenbauten im Verlauf des Prozesses einer Baustufe reichlich korrigiert wurde. Abzulesen ist die z.B. an dem (einstmals zerstörten und wieder zusammengesetzten) Pyramidion der Grabpyramide des Snofru in Dahschur/Nord [Stadelmann, B30,Taf. 29]: Es spielte bei Betrachtung fertiggestellter altägyptischer Großpyramidem im ästehtischen Sinne keine Rolle, ob z.B. der oberste Teil einer altägyptischen Großpyramide in jeder Hinsicht akkurat ausgeführt war: Der Aufwand, jedes einzelne Bauteil eines Großmonuments bis ins winzigste Detail maßgerecht zu gestalten, hätte für die alten Ägypter einen exorbitanten Aufwand bedeutet. Korrekturen im Bauprozess, z.B. aufgrund sich aufaddierender Messfehler, sind deshalb wesentlich wahrscheinlicher und entsprechen auch einer gesunden und ausgewogenen Baupraxis angesichts der von den alten Ägyptern verwendeten Mittel, Methoden, Werkzeugen, Materialien und handwerklichen Bearbeitungstechniken. Diese Art von Korrekturen und pragmatischen Anpassungen ist aus vielen altägyptischen Bauwerken abzulesen (siehe z.B. Stadelmann, B30, diverse Bildtafeln]).

Berechnung des Streckenunterschieds (in Metern) zwischen c_1 und c_2 in Anwendugn auf die Abmessungen der Cheops-Pyramide:
bei
a_1; a_2 = halbe Basislänge Cheops-Pyramide
a_1; a_2 =220 Ellen

b_1; b_2 = Höhe Cheops-Pyramide
b_1; b_2 = 280 Ellen

bei
1 Elle = ca. 0,5236 m (nach [Flinders, E2])

Berechnung Böschungslänge Cheops-Pyramide (theoretisch rechnerisch) in Metern:
a_1; a_2 = 220 Ellen
a_1; a_2 = 220 * 0,5236 m
220 * 0,5236 m = 115,192 m
a_1; a_2 = 115,192 m

b_1; b_2 = 280 Ellen
b = 280 * 0,5236 m
280 * 0,5236 m = 146,608 m
b_1; b_2 = 146,608 m

(Satz des Pythagoras:)
c_1 = sqrt(a_1² + b_1²)
c_1 = sqrt((220 * 220) + (280 * 280))
c_1 = sqrt(48400 + 78400)
sqrt(126800) = 356,0898763 Ellen
c_1 = 356,0898763 Ellen

356,0898763 Ellen = ca. (356,0898763 * 0,5236) m
ca. (356,0898763 * 0,5236) m = ca. 186,4486592 m
c_1 = ca. 186,4486592 m

Berechnung Böschungslänge Cheops-Pyramide (idealisiert, mit seked 5 + /2) in Metern:

(dezimale Vergleichsbrechung für besseren Überblick)

In dieser Berechnung ist c_2 Resultat aus der zweifachen Anwendung der Formelstellung (7 / verdoppelter seked) * Basislänge Pyramide, also (7 / (2 * 5 + /2)) * 2a. In der Ersten Berechnung wird dabei die basiskantenlänge der Cheops-PYramide in Ellen angenommen. In der zweiten Berechnung wird das Ergebnis aus der ersten Berechung, das die hypothetische Höhe der Cheops-Pyramide in Ellen darstellt wier die Basiskantenlänge einer Pyramide angesehen, dessen Höhe berechnet werden soll. Es resultiert aus dieser Berechnungsfolge ein Einblick in die besondere Charakteristik der Proportionen der Cheops-Pyramide, die als Näherungslösung eine geometrische Sonderstellung einnimmt:

Hypothetische Berechnung 1: Höhe der Cheops-Pyramide über seked ermitteln:
bei
seked = 5 + /2

a_2 = 220 Ellen (halbe Basislänge Cheops-Pyramide)
2a_2 = 2 * 220 Ellen
2a_2 = 440 Ellen

b_2(seked) = gesuchter Wert für die Höhe der Cheops-Pyramide in Ellen
b_2(seked) = ((7 / (2 * 5 + /2)) * 440) Ellen

b_2(seked) = ((7 / (2 * 5 + /2)) * 440) Ellen
b_2(seked) = (7 / 11 * 440) Ellen
b_2(seked) = (0,6363... * 440) Ellen
b_2(seked) = 280 Ellen

Hypothetische Berechnung 2: Böschungslänge der Cheops-Pyramide über seked ermitteln:
bei
b_2(seked) = 280 Ellen (wie halbe Basiskantenlänge einer Pyramide angenommen)
2b_2(seked) = (2 * 280) Ellen
2b_2(seked) = 560 Ellen

c_2(seked) = Böschungslänge Cheops-Pyramide (wie zu ermittelnde Höhe einer Pyramide anzusehen)
c_2(seked) = ((7 / (2 * 5 + /2)) * 560) Ellen
c_2(seked) = (7/11 * 560) Ellen
c_2(seked) = 356,3636... Ellen

Bei Durchrechnung des hypothetisch mit einer 72 schesep langen Schnur möglichen Erzeugung der Proportionen der Cheops-Pyramide
unter Anwendung des seked dürfte einem altägyptischen Rechenkundigen aufgefallen sein, dass sich auf diese Art und Weise die im Originalmaßstab zu verbauende Böschungsstreckenlänge der Cheops-Pyramide in Ellen ermitteln lässt, jedoch vom möglicherweise erwarteten Ideal relativ minimal abweicht:

Berechnung Differenz zwischen c_2(seked) und mathematisch korrektem c_1:
bei
c_1 = 356,0898763 Ellen
c_2(seked) = 356,3636... Ellen

(Überschussermittlung; dezimal):
Überschuss Streckenlänge = c_2 - c_1
c_2 - c_1 = 356,3636... Ellen - 356,0898763 Ellen
356,3636... Ellen - 356,0898763 Ellen = ca. 0,273760064 Ellen

(Überschussermittlung; prozentual):
c_1 = 356,0898763 Ellen
c_2(seked) = 356,3636... Ellen

c_1 = 100%
c_2 = (100 + x)%

x = c_2 / (c_1 / 100))
x = ((100 + x)%) / 1%
x = ((100 + x)%) / (c_1/ 100)
x = (356,3636... / (356,0898763 / 100)) %
x = (356,3636... / 3,560898763) %
x = 1,000768795%

Berechnung Differenz zwischen c_2(seked) und idealisiertem c_1(Modellentwurf):
bei
c_2(Modellentwurf) = 360 Ellen
c_2(seked) = 356,3636... Ellen

(Differenzermittlung, dezimal):
c_2(Modellentwurf) - c_2(seked) = Differenz
c_2(Modellentwurf) - c_2(seked) = 360 Ellen - 356,3636... Ellen
360 Ellen - 356,3636... Ellen = 3,6363... Ellen
Differenz = 3,6363... Ellen

Berechnung prozentuale Überschussermittlung zwischen c_2(seked) und idealisiertem c_1(Modellentwurf):
bei
c_2(seked) = 356,3636... Ellen
c_2(Modellentwurf) = 360 Ellen

c_2(seked) = 100%
c_2(Modellentwurf) = (100-x)%

x = c_2(Modellentwurf) / (c_1(seked) / 100))
x = ((100 + x)%) / 1%
x = ((100 + x)%) / (c_1/ 100)
x = (360/ (356,3636... / 100)) %
x = (360 /3,563636...) %
x = ca. 101,0204082%

Differenzermittlung in Prozent:
ca. 101,0204082% - 100% = 1,0204082%
Differenz in % = 1,0204082%

Nachweisberechnungen (Cheopspyramide):
Basiskantenlänge (nach Flinders) = ~230,36 m
Höhe (nach Flinders und andere Autoren) = ~146,60 m
halbierte Basiskantenlänge = 230,36/2 = 115,18 m
Diagonale einer quadratischen Grundfläche bei Seitenlänge a = 115,18 m = 115,18 * sqrt(2) = 115,18 * ~1,4142 = ~162,8891m

Berechnung der rechtwinklig-dreieckigen Querschnittsfläche (Schnitt über die Eck-Diagonale):
(ausgehend von der Annahme dass die Cheopspyramide über eine BAsiskantenlänge von 440 Ellen bei einer korrespondierenden Höhe von 280 Ellen verfügt:)
Grundeinheit Elle; 1 Elle = 1 Einheit
halbierte Basiskantenlänge = 220 Ellen

Satz des Pythagoras:
a(diagonal) = (220 * ~1,4142) Einheiten = 311,124 Ellen
b = Höhe = 280 Ellen
c = sqrt(a²+b²)
c = Kantenlänge Cheopspyrmaide
c = sqrt(311,124² + 280²) Ellen
c = sqrt(~96798,14338 + 78400) Ellen
c = sqrt(175198,1434) Ellen
c = 418,5667729 Ellen
c = Kantenlänge Cheopspyramide

Proportionszusammenhang Kantenlänge : Höhe Cheopspyramide:
c : b = Proportionsfaktor
Proportionsfaktor = ~418,5667729 Ellen : 280 Ellen
Proportionsfaktor = 1,494881332
Proportionsfaktor = ~1,5

Proportionszusammenhang Kantenlänge Cheopspyramide : Höhe Cheopspyramide = ~1,5 : 1
Proportionszusammenhang Kantenlänge Cheopspyramide : Höhe Cheopspyramide = ~(3 : 2)

Für eine solchartige Einmesspraxis altägyptischer Pyramidenbaukörper (nach Graefe´s stellenweise adaptierter Theorie) swürde sprechen, dass viele nach Modularsystemen erbaute Bauwerke (z.B. Bauwerke aus Ziegelmauerwerk oder Steinquadern) auch heute noch nach dem Prinzip erbaut werden, dass zuerst Ecken aufgemauert werden und Seitenflächen anschließend unter Anwendung von Fluchtungen über die Ecken vermauert werden. Bei exakter Fluchtung (z.B: mittels Fluchtschnur) sind somit keine weiteren Einmessungen der Einbautiefe von z.B. Steinquadern mehr notwendig, sondern ausschließlich zusätzliche Kontrolleinmessungen der Waagerechten.

- siehe auch das Kurzvideo zur hier beschriebenen Einmesspraxis eines Pyrmaidenbauwerks mit den Proportionen der Cheopspyramide auf meinem Youtubekanal (Videolink siehe Quellen).

Im Modellversuch demonstiertes Einmessen eine sSteinblocks (über die Kantenlängeneinmessung über die Ecken-Diagonale)
https://www.youtube.com/watch?v=gT2KP1jJhoo

Im Modellversuch demonstriertes Ermitteln der Proportionen der Cheopspyramide (über die Kantenlängeneinmessung über die Ecken-Diagonale)
https://www.youtube.com/watch?v=5wfJW1C4tso
Zuletzt geändert von Sculpteur am 20.10.2022 11:09, insgesamt 5-mal geändert.
MERKSÄTZE für den Quintenzirkel:
(vorwärts:) (F)reude (b)efördert (es)sentielle (As)piranten (des) (Ges)angs.
(rückwärts): (ges)tern (des) (as)tes (es)chenknospe [der Wind] (b)lies (f)ort.
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Re: Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

Beitragvon Sculpteur » 17.03.2024 10:48

zu Abb. 11:
Summarische (pythagoreische Tripel) finden durch systematische Streckenvermesusng
Mit einer einfachen Messmethode ist es bei systematischer Vorgehensweise möglich, summarische Tripel (häufig sog. pythagoreische Tripel) zu finden: hierfür genügt ein einfacher Versuchsaufbau. Der Versuchsaufbau ist beispielhaft, es existieren verschiedenste Methoden: aus z.B. festem Schnurmaterial oder sehr dünnem Seilmaterial werden zwei Vermessungsseile theoretisch beliebiger Länge hergestellt. Auf beide Messwerkzeuge werden Teilstrecken jeweils exakt gleicher Länge (z.B. Handbreiten oder auch kleinere Abmessungen wie z.B. Fingerbreiten) übertragen (z.B. durch mit Farbe aufgebrachte Markierungen oder etwa durch exakte Abknotungen). Je mehr Strecken auf die Vermessungswerkzeuge aufgebracht werden um so größer ist die Bandbreite an systematisch erprobbaren Proportionen. Die Anzahl der erprobbaren Proportionen richtet sich dabei nach festgefügten mathematischen Gesetzmäßigkeiten.
Eins der Vermessungswerkzeuge (hier Vermessungsschnur) wird an einem Ende so mit einem Lotgewicht versehen, dass die Lotlänge exakt Bestandteil einer markierten Teilstrecke des Vermessungswerkzeugs ist.
Eins der Vermessungswerkzeuge aus Seil oder Schnur wird entlang eines zuvor erzeugten rechtwinkligen Bodenaufrisses auf einem möglichst ebenen Untergrund fixiert. Um die Rechwinkligkeit zu erzeugen kann auch von vorneherein das Prinzip der sog. 12-Knoten-Schnur verwendet werden: indem z.B. eine Schnur mit 12 an der Schnur markierten exakt gleichlangen Teilstrecken im Streckenverhältnis von 3 : 4 : 5 Strecken aufgestrafft wird entsteht automatisch ein Rechter Winkel.

Die Vermessungsschnur mit der Lotspitze wird nun mit der Lotspitze exakt auf den Eckpunkt der am Boden aufgespannten Schnur (quasi direkt im 90°-Winkel) angesetzt, dabei schwebt die Lotspitze in minimalem Abstand über dem untergrund so dass die Lotschnur straff gespannt bleibt und die Lotspitze annähernd den Boden berührt. Nun werden an der Schnur mit hängenden Lotgewicht Teilsttrecken abgegriffen (zuerst eine, dann zwei, dann drei usw.). Der Haltepunkt für die Abgreifung der Schnurstrecken befindet sich dabei jeweils exakt direkt zwischen zwei Teilstrecken (also direkt auf einer jeweiligen Markierung). Für jede Teilstreckenabgreifung auf der Schnur werden sodann bei gestraffter Schnur vom Schnurhaltepunkt aus sämtliche Möglichkeiten ausprobiert, eine auf der Schnur befindliche Markierung mit einer an der Bodenschnur befindlichen Schnurmarkierung in Deckungsgleicheit zu bringen. So entstehen bei gestraffter Schnur bei Deckungsgleichheit zweier Markierungen rechtwinklige Dreiecksfiguren mit Affinität zu summarischen (pythagoreischen) Tripel. Kleine rechnerische Abweichungen spielen bei dieser Methode eine untergeordnete Rolle weil bei Erbauung größerer Bauwerke automatisch Messwerttoleranzen berücksichtigt werden müssen (z.B. wegen sich aufaddierender Messfehler).
Diese Methodik wird für sämtliche Möglichkeiten durchprobiert. Wird die Methodik von mehreren Personen durchgeführt und gleichzeitig mit einer weiteren Vermessungsschnur gleicher Machart kombiniert, können sämtliche sich ergebenden Proportionen für z.B. Pyramidenbauten ermittelt werden: hierfür werden die sich in der im 90°-Winkel aufgespannten Bodenschnur ergebenden Abstände zwischen den beiden Schnurschenkeln - bei jeweils gleicher Streckenlänge auf jedem Schenkel (ausgehend vom 90°-Winkel) mit der zusätzlichen Messschnur bei straff gespannter Schnur vermessen. Ergeben sich auch hier Deckungsgleichheiten von Schnurmarkierungen, handelt es sich insgesamt um relativ gut einmessbare Proportionen. Siehe das Beispiel der Cheopspyramide.
Das erläuterte Verfahren ist hier im Beispiel anwendbar auf die Kanteneinmessung eines Pyramidenbaukörpers.

Alternativ dazu kann die Systematik der Proportionsermittlung auf die Ermittlung von Einmessungsmöglichkeiten über die Böschungslänge einer Pyramide erfolgen und entsprechend umgestaltet angewendet werden.
Weitere - insgesamt etwas aufwändigere und leicht kompliziertere Methoden in Verbindung mit Zirkelarbeit liefern sämtliche mit ganzzahligen Streckengrößen einmessbaren Pyramidenproportionen. Es ist also lediglich eine Frage der Systematisierung, früher oder später die wesentlichsten summarischen Tripel und gut einmessbaren Proportionen auf diese - oder ähnliche - Art und Weise ausfindig zu machen.

zu Abb. 12:
Arithmetischer Reigen 35er-Elle:
Durch einfaches arithmetisches "Vermakeln" der Poportionszusammenhänge kann durch systematisches Ausprobieren herausgefunden werden, wie sich die zuvor erläuterte Erzeugung der Proportionen der Cheopspyramide auf ein konkret verwendbares Maßsystem anwenden lässt, das auch die Breiteneinmesung eines Pyramidenbaukörpers berücksichtigt. Hierfür werden die ganzzahligen Zahlenwerte 5 und 7 als Faktoren miteinander multipliztiert, die bekannterweise auf die annähernd geometrisch exakte Erzugung einer Quadratfigur angewendet werden könnne. Wie bekannt ist, verwendeten die alten Ägypter die Näherungslösung 7 : 5 für die Berechnung von Quadratfiguren [...].
Werden die Faktoren 5 und 7 als ganzzahlige Zahlenwerte miteinander multipliziert, entsteht eine in 35 gleichlange Teilstrecken eingeteilte Referenz, die hier sogenannte 35er-Elle mit Bzug zu tatsächlichen altägyptischen Überlieferungen [...].

Wird ein in 35 gleichlange Teilstrecken eingeteiltes Bemaßungssystem verwendet, kann die zuvor erläuterte Erzeugung der Proportionen der Cheopspyramide (über die Einmessung über die Kante der Pyramide) auf die Verwendung der 35er-Elle adaptiert werden. Daraus resultiert dann bie grundlegender Streckeneinteilung von 3 : 2 (Kantenlänge Pyramide zu Höhe Pyramide) eine Proportionierung von 21 : 14 Teilstreckeneinheiten für Kantenlänge : Höhe was einer Gesamtstreckenlänge von 35 Teilstreckeneinheiten entspricht weil 21 + 14 = 35.

Bei solchartiger Adaptierung kann also messtechnisch (im Modellentwurf) übertragen werden bei djeba als kleinster Streckeneinheit; djeba = Fingerbreite):
21 djeba = Kantenlänge Modellpyramide
14 djeba = Höhe Modellpyramide

Auf Grundlage dieser Einteilung kann jede beliebig hohe theoretisch verbaute Pyramidenbaustufenschicht nach dem Proportionsschlüssel 3 : 2 mit einem simplen Seil-Einmesstrick eingemessen werden, d.H. es sind keine konkreten Maßeinheiten notwendig um eine Pyramidenbauwerk mit den Proportionen der Cheopspyramide zu erbauen: hierfür wird lediglich die Höhe einer jeden einzumessenden verbauten Schicht (hier im Beispiel) mit einer Messschnur abgenommen. Anschließend wird die Messschnur halbiert zusammengelegt und daraufhin die resultierende Messschnurstrecke verdreifacht. Dieser Einmessstrick ist mit einer geeigneten entsprechend langen Messschnur möglich: hierfür wird den zusammengelegten zwei Grundstreckeneinheiten einfach eine dritte "hinzugelegt" um das spezifische Kantenlängenmaß zu ermitteln (siehe noch folgende Abbldung).

zu Abb. 13:
Die Proportionen der Cheopspyramide mit baumeisterlichen Mitteln erzeugen:
Eine der simpelsten und naheliegendsten Methoden mit denen die Proportionen der Cheopspyramide mit Mitteln und Methoden erzeugt werden können die für antike baumeisterliche Praxis naheliegend erscheinen ist die folgende. Die konkrete Länge einer gewählten Grundmaßeinheit spielt bei dieser Methode keine Rolle, von Bedeutung ist zunächst ausschließlich das geometrische und das daraus resultierende arithmetische Konzept. Erst im späteren Verlauf einer Planungskonzeption für einen Pyramidenbau würd edie Zuordnung einer spezifischen (festgelegten) Längeneinmheit sowie ein resultierender Maßstab eine Rolle spielen um tatsächlich in der Cheopspyramide verbaute Maße zu imitieren:

Lotschnumethode (Modellvorlage; hier ohne definierten Maßstab):

Schritt 1: eine Linie auf einem geeigneten Untergrund aufreißen.
Schritt 2: eine Schnurstrecke als Streckengrundeinheit festlegen (bei theoretisch beliebiger Länge). An einem Ende der Shcnur ein Lotgewicht befestigen. Die Länge des Lotgewichts ist entsprechend von der Schnurteilstrecke abzuziehen.
Schritt 3: eine Vermessungsschnur (bzw. ein Vermessungsseil, ggf. auch einen Vermessungsfaden) mit 5 gleichlangen und z.B. durch Abknotung voneinander getrennten Grundstrecken (als Teilstrecken) herstellen
Schritt 4: das eine äußere Ende der exakt abgelängten Vermessungsschnur an den (hier sogenannten) Angelpunkt auf der aufgerissenen Linie anhalten bzw. im Untergrund fixieren.
Schritt 5: Die Vermessungsschnur am Trennungsbrereich (z.B. Abknotung) zwischen 3ter und 4ter Teilstrecke hochhalten und passegnau mit Bodenkontakt der Lotgewichtspitze (bei straff hängender Schnur) auf die aufgerissene Linie ausrichten. Der Punkt an dem die Lotgewichtspitze die aufgerissene Linie berührt, kann auf dem Untergrund als Kreismittelpunkt markiert (angerissen) werden. Durch das so geartete Halten der Schnur entsteht eine abgewinkelte Streckeneinteilung der Schnur von 3 zu 2 Teilstrecken.
Schritt 6: mit geeignetem Zirkelwerkzeug um den Kreismittelpunkt als Zirkeleinstichpunkt über den Angelpunkt einen Kreisumfang aufreissen.
Schritt 7: ausgehend von der zuvor aufgerissenen Linie (als Durchmesserlinie) mit entsprechender Zirkelaufrissmethode eine Quadratfigur in die aufgerissene Kreisfigur einbeschreiben.

Vom so hergestellten Aufriss können nun sämtliche relevanten Proportionszusammenhänge (als vervielfältigungsfähige Grundabmessungen) auf geeinete Vermessungswerkzeuge (z.B. Schnüre oder Messstäbe bzw. Messlatten) übertragen werden.

Auf Grundlage der so erzeugten Grundabmessungen kann bei Anwendung entsprechender Bautechniken und Handwerkstechniken theoretisch und praktisch ein Pyrmaidenbaukörper mit den Proportiuonen der Cheopspyramide errichtet werden.
Summarische Tripel messtechnisch ermitteln (1).jpg
Abb. 11:
Bildrechte: © me. Vinzenz Maria Hoppe, 2024
(hochgeladen am 21.03.2024, 07:59 MEZ)
Summarische Tripel messtechnisch ermitteln (1)
Arithmetischer Reigen 35er-Elle.jpg
Abb. 12:
Bildrechte: © me. Vinzenz Maria Hoppe, 2024
(hochgeladen am 17.03.2024, 18:09 MEZ)
Arithmetischer Reigen 35er-Elle
Proportionen Cheopspyramide ermitteln mit Schnurlot.jpg
Abb. 13:
Bildrechte: © me. Vinzenz Maria Hoppe, 2024
(hochgeladen am 17.03.2024, 18:09 MEZ)
Proportionen Cheopspyramide ermitteln mit Schnurlot
Proportionen Cheopspyramide.jpg
Abb. 14:
Bildrechte: © me. Vinzenz Maria Hoppe, 2024
(hochgeladen am 17.03.2024, 12:56 MEZ)
Proportionen Cheopspyamide
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Re: Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

Beitragvon Sculpteur » 01.04.2024 09:54

- Beiträge des Verfassers zum Thema werden aktuell stark editiert, gekürzt und aufgrund neuer Erkenntnisse aktualisiert. Das noch in Aktualisierung befindliche Quellenverzeichnis wird hiermit an das Ende des vom Verfasser hier veröffentlichten Themenkomplexes gestellt. -

QUELLEN:

Aufsätze:
[A1] [Zeitschrift für ägyptische Sprache und Altertumskunde, Band/Heft 105, S. 67 - 76; ZDB, ID: 2002097; Berlin, Leipzig; Verlag de Gruyter, Hinrichs, Akad.-Verlag]: (Autor unbekannt): Gedanken zum vermutlichen Alter der mathematischen Kenntnisse im alten Ägypten, 1978.

[A2] [Allgemeine Vermessungs-Nachrichten; Band/Heft (??), S. 610 - 615; ZDB ID: 2401800, Verlag Wichmann, VDE Verlag, Wichmann, Wichmann, Berlin (wechselnde Verlagsorte), Karlsruhe, Heidelberg, 1910]: Emilius, A: Vier Jahrtausende Vermessungs- und Katasterwesen in Ägypten, 1910.

[A3] [Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik; Band/Heft 1, Heft 3, S. 255 - 277; ZDB, ID: 1622754. Verlag Springer, Berlin, 1930] Gandz, Solomon: Die Harpedonapten oder Seilspanner und Seilknüpfer, 1930.

[A4] (Quelle: ZDB) Antike Welt (Zeitschrift), Band/Heft 2, S. 189 - 204: Hinkel, F. W.: Die Königspyramiden von Meroe - Bauaufgabe einst und jetzt. Verlag: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Raggi-Verl. von Zabern, (wechselnde Verlagsorte) Mainz, Darmstadt, Mainz, 2002.

[A5] [Mitteilungen des Deutschen Archäologischen Institus, Abteilung Kairo, Band/Heft 41; S. 109 - 143; ZDB, ID: 2060619, Wiesbaden, Berlin, New York, NY, Wiesbaden, Mainz, Berlin, Boston; Verlag Harrassowitz, de Gruyter, Harrassowitz, von Zabern]: Lehner, Marc: The Development of the Giza Necropolis, 1985.

[A6] [Mittelalter: Zeitschrift des Schweizerischen Burgenvereins. Band (Jahr) 5 (2000), Heft 1, PDF erstellt am: 05.08.2020, (persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-165007), ein Dienst der ETH-Bibliothek, Zürich / Schweiz, 2020: Moosbrugger-Leu: Die Schnurvermessung im mittelalterlichen Bauwesen, 2000.

Bücher:
[B1] Arnold, D.: Lexikon der ägyptischen Baukunst. Verlag Artemis, München ; Zürich, 1994.

[B2] Beckerath, J. von: (Münchner ägyptologische Studien ; Bd. 46 / Münchner Universitätsschriften : Philosophische Fakultät): Chronologie des pharaonischen Ägypten : die Zeitbestimmung der ägyptischen Geschichte von der Vorzeit bis 332 v. Chr. Verlag von Zabern, Mainz, 1997.

[B3] Cantor, M.: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik - Von den ältesten Zeiten bis zum Jahre 1200 N. Chr. Bd. 1, 3. Aufl. Verlah Teubner, Leipzig, 1907.

[B4] Crilly, T.: 50 Schlüsselideen der Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009.

[B5] Edwards, I. E. S.: Die Ägyptischen Pyramiden. MZ-Verlagsdruckerei, Memmingen, 1961.

[B6] Goyon, J.C.: La Construction Pharaonique, Verlag Picard, Paris.

[B7] Goyon, G.: Die Cheopspyramide - Geheimnis und Geschichte. Weltbild Verlag, Augsburg, 1990.

[B8] Janosi, P.: Die Pyramiden - Mythos und Archäologie, 2., durchgesehene und aktualisierte Aufl. Verlag CH Beck, München, 2010.

[B9] Korff, F.-W.: Der Klang der Pyramiden - Platon und die Cheopspyramide: Das enträtselte Weltwunder. Verlag Olms, Hildesheim, 2008.

[B10] Korff, F.-W.: Das musikalische Aufbauprinzip der ägyptischen Pyramiden. Verlag Olms, Hildesheim, 2015.

[B11] Kubisch, S.: Das Alte Ägypten - Von 4000 bis 30 v. Chr. Verlag Marix, Wiesbaden, 2017.

[B12] Lauer, J.-Ph.: Das Geheimnis der Pyramiden, Verlag Moewig, Bd. Nr. 3387, Rastatt, 1988.

[B13] Lehmann, J.: So rechneten Ägypter und Babylonier - 4000 JAhre Mathematik in Aufgaben. 1. Aufl., Urania-Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1994.

[B14] Lehner, M.: Das erste Weltwunder - Die Geheimnisse der ägyptischen Pyramiden. Verlag Econ, Düsseldorf / München, 1997.

[B15] Lehner, M.: Das Geheimnis der Pyramiden. Verlag Bassermann in Verlagsgruppe Randomhous, München, 2004.

[B16] Lehner, M.: The egyptian Heritage. Edgar Gayce Foundation (USA), 1977.

[B17] Lehner, M. / Hawass, Z.: Giza and the Pyramids. Verlag von Zabern (Imprint der Wissenschaftlichen Buchgesellschaft), Darmstadt, 2017.

[B18] Lepsius, R.: Die alt-aegyptische Königselle und ihre Einteilung. Aus den Abhandlungen der königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin; Berlin, 1865.

[B19] Maor, E.: The Pythagorean theorem - a 4000-year history. Princeton University Press, New Jersey (USA) / United Kingdom, Oxfordshire, 2007.

[B20] Minow, H.: Königselle und Metermaß - Die antiken Längeneinheiten im Zusammenhang: Ein Beitrag zur Metrologie mit sechs Tabellen und zehn Abbildungen (Schriftenreihe des Förderkreises Vermessungstechnisches Museum e.V.). Bd. 22, Förderkreis Vermessungstechnisches Museum e.V. (Hrsg.), Dortmund, 1996.

[B21] Müller-Römer, F.: Der Bau der Pyramiden im Alten Ägypten, Verlag Utz, München, 2011.

[B22] Pfeiffer, E.: Die alten Längen- und Flächenmasse - Ihr Ursprung, Geometrische Darstellung und arithmetische Werte. Bd. I., Verlag Scripta Mercaturae, St. Katharinen, 1986.

[B23] Pfeiffer, E.: Die alten Längen- und Flächenmasse - Ihr Ursprung, Geometrische Darstellung und arithmetische Werte. Bd. II., Verlag Scripta Mercaturae, St. Katharinen, 1986.

[B24] Robins, G / Shute, C: The Rhind Mathematical Papyrus - An ancient Egyptian text. British Museum Publications, London, 1987.

[B25] Robins, G.: Proportion and Style in ancient Egyptian art - Verlag University of Texas Press, Austin (USA), 1994.

[B26] Roik, E.: Das Längenmaß im Alten ÄgyptenVerlag Rosenkreutz, Hamburg, 1993.

[B27] Rooney: Geschichte der Mathematik. Verlag Tosa, Fränkisch-Crumbach, 2016.

[B28] Sasse, T.; Haase, M: Im Schatten der Pyramiden - Spurensuche im alten Ägypten. Verlag Econ, Düsseldorrf, 1997.

[B29] Seidel, M. / Schulz, R.: Kunst & Architektur Ägypten, Verlag Tandem, Potsdamm, 2005.

[B30] Stadelmann, R.: Die altägyptischen Pyramiden: Vom Ziegelbau zum Weltwunder. 3. aktualisierte u. erweiterte Aufl. (Kulturgeschichte der antiken Welt; Bd. 30), Verlag von Zaben, Mainz, 1997.

[B31] Stadelmann, R.: (Welt der Wunder - Wunder der Welt:) Die großen Pyramiden von Giza. Akademische Druck- u. Verlagsanstalt, Graz, 1990.

[B32] Tyldesley, J.: Mythos Ägypten - Die Geschichte einer Wiederentdeckung. Verlag Reclam, Stuttgart, 2006.

[B33] Tompkins, P: Cheops - Die Geheimnisse der Grossen Pyramide. Verlag Gondrom mit Genehmigung des Scherz Verlages, Bern und München, 1973.

[B34] Winkler, R.: Logistik des Pyramiden-Baues - Untersuchung der Logistik des Planens, des Messens, des Bauens, der ägyptischen Pyramiden. genehmigte Abhandlung / vorgelegte Arbeit zur Erlangung der Dr. -Ing.-Würde), vorgelegt bei Fakultät 1 Architektur und Stadtplanung, Universität Stuttgart, 2001.

PDF-Quellen und Onlinedateien (Artikel, Abhandlungen, Rezensionen u. Monografien):
[PDF1] Graefe, E.: Über die Determinanten des Pyramidenbaus.
https://www.uni-muenster.de/imperia/md/ ... _v/pyr.pdf

[PDF2] Korff, F. W.Mathematische Berechnungen beweisen, daß die Neigungen der Pyramiden musikalischen Intervallen aus der Partial- und Obertonreihe entsprechen. Widerlegung der Rezension des Prof. Dr. Frank Müller-Römer, 2010.
URL: https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/pro ... e/2010/588

[PDF3] Goethe Universität, Frankfurt a.M.: Köpp-Junk, H. / Junk, P.: Rezension zu: Frank Müller-Römer, Der Bau der Pyramiden im Alten Ägypten (München 2011), Verlag FeRA : Frankfurter elektronische Rundschau zur Altertumskunde, Frankfurt a. M., 2015.
http://s145739614.online.de/fera/ausgab ... p-Junk.pdf

[PDF4] Minow, H.: Königselle und Metermaß : die antiken Längeneinheiten im Zusammenhang ; ein Beitrag zur historischen Metrologie mit sechs Tabellen und Zehn Abbildungen, 1996.
https://d-nb.info/997991038

[PDF 5] Müller-Römer, F..: Grundsätzliche Überlegungen und Feststellungen zum Bau der Pyramiden im Alten Reich, 2019.
https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/pro ... /2019/4403

[PDF 6] Müller-Römer, F.: Ist das Rätsel um die äußere Form der Pyramiden gelöst?
Titelzusatz: oder Der Klang der Pyramiden - Wirklichkeit oder Wunschdenken?". Vortrag am 18. Juli 2009 anlässlich der 41. Ständigen Ägyptologenkonferenz in Münster, 2009.
https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/pro ... e/2009/307

[PDF 7] Müller-Römer, F.: Pyramidenbau im alten Ägypten - auch eine vermessungstechnische Meisterleistung, 2011.
URL: https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/pro ... e/2010/706

[PDF 8] Müller-Römer, F: Pyramidenbau mit Rampen und Seilwinden: Ein Beitrag zur Bautechnik im Alten Reich. Dissertation, LMU München: Fakultät für Kulturwissenschaften, 2008.
URL: https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/pro ... te/2008/92

[PDF 9] Müller-Römer, F. : Rezension zu: Friedrich Wilhelm Korff, Das musikalische Aufbauprinzip der ägyptischen Pyramiden, 2016.
DOI: https://doi.org/10.21248/fera.29.168

[PDF 10] Ziegler, H.: Die Elle als Längenmaß in den ägyptischen Tempeln der griechisch-römischen Epoche: Edfu - Dendera - Kalabascha. Original: Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft, BAnd 57,2006,S. 55-108; Braunschweig, 2007.
Link URL: http://www.digibib.tu-bs.de/?docid=00048803

E-Books:
[E1] Platon: Nomoi - Staatstheorie: Das Ziel der Gesetzgebung + Lehren aus der Geschichte + Die Staatsgründung + Die staatliche und soziale Ordnung. Musaicum book / OK Publishing (Hrsg.), 2017.

[E2] Petrie, Flinders: The Pyramids and Temples of Gizeh, Verlag Read Books Ltd., 2020.

[E3] Stocks, Denis A.: Experiments in egyptian Archaeology - Stoneworking technology in Ancient Egypt. Verlag Routledge,
Taylor & Francis Group, London; New York, 2004.

Wikipedia (DE):
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[W1]
("Alte Maße und Gewichte", 2022)
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NACHGETRAGENE QUELLEN:
Bücher:
[N\B1] Eberlein, J. K.: Albrecht Dürer. Verlag Rowohlt Taschenbuch, Hamburg, 2003.

[N\B2] Herodot: Historien. 7. Aufl., Verlag Pathmos / Artemis & Winkler, Düsseldorf, 2006.

[N\B3] Hecht, K.: Maß und Zahl in der Gotischen Baukunst. Verlag Olms, Hildesheim, 1997.

[N\B4] Reiss, K./ Schmieder, G.: Basiswissen Zahlentheorie - Eine Einführung in Zahlen und Zahlenbereiche. 2. Aufl., Verlag Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2007.

[N\B5] du Sautoy, M.: Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. 7. Aufl., dtv Wissen / Deutscher Taschenbuch Verlag, 2013.

[PDF´s:]
[N\PDF1] Müller-Römer, F.: Die Mathematik im alten Ägypten. 2016
URL: https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/pro ... /2016/3219

(deutsche) Wikipedia:
[N\W1] Seite „Florenz“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 11. September 2022, 07:00 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =226065190 (Abgerufen: 15. September 2022, 09:46 UTC)

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[N\W4] Seite „Manhattan“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 11. September 2022, 09:45 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =226068862 (Abgerufen: 13. September 2022, 05:00 UTC)

[N\W4]
Bibliografische Angaben für „Manhattan“
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[N\W5] Seite „Nippur-Elle“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 31. Oktober 2020, 09:57 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =205045245 (Abgerufen: 16. September 2022, 04:38 UTC)

[N\W5]
Bibliografische Angaben für „Nippur-Elle“
Seitentitel: Nippur-Elle
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[N\W6] Seite „Rom“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 27. August 2022, 21:02 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =225694824 (Abgerufen: 13. September 2022, 05:02 UTC)

[N\W6]
Bibliografische Angaben für „Rom“
Seitentitel: Rom
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[N\W7] Seite „Rainer Stadelmann“. In: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 12. März 2021, 22:32 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?ti ... =209735194 (Abgerufen: 15. September 2022, 10:04 UTC

[N\W7]
Bibliografische Angaben für „Rainer Stadelmann“
Seitentitel: Rainer Stadelmann
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 12. März 2021, 22:32 UTC
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[Nachgetragene Quellen (Erweiterung E1):
[E1\W1]
Bibliografische Angaben für „Duodezimalsystem“:
Seitentitel: Duodezimalsystem
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
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Datum des Abrufs: 3. Oktober 2022, 09:35 UTC

[E1\W2]
Bibliografische Angaben für „Fuß (Einheit)“:
Seitentitel: Fuß (Einheit)
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 21. September 2022, 04:26 UTC
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Datum des Abrufs: 4. Oktober 2022, 18:33 UTC

[E1\W3]
Bibliografische Angaben für „Meter“:
Seitentitel: Meter
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 4. Oktober 2022, 10:37 UTC
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Datum des Abrufs: 5. Oktober 2022, 08:58 UTC

[E1\W4]
Bibliografische Angaben für „Rechenseil“:
Seitentitel: Rechenseil
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 21. Januar 2022, 09:39 UTC
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Datum des Abrufs: 4. Oktober 2022, 09:53 UTC

[E1\W5]
Bibliografische Angaben für „Sexagesimalsystem“:
Seitentitel: Sexagesimalsystem
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 3. Februar 2022, 14:36 UTC
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Datum des Abrufs: 3. Oktober 2022, 09:40 UTC

[E1\W6]
Bibliografische Angaben für „Zoll (Einheit)“:
Seitentitel: Zoll (Einheit)
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 5. Juli 2022, 20:33 UTC
Versions-ID der Seite: 224263379
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Datum des Abrufs: 4. Oktober 2022, 18:35 UTC

[Nachgetragene Quellen (Erweiterung E2):
[E2\W1] Bibliografische Angaben für „Dreieck“
Seitentitel: Dreieck
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 23. Juli 2022, 19:21 UTC
Versions-ID der Seite: 224757503
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Datum des Abrufs: 11. Oktober 2022, 10:10 UTC

[E2\W2]
Bibliografische Angaben für „Dreiecksgeometrie“
Seitentitel: Dreiecksgeometrie
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 25. April 2022, 10:50 UTC
Versions-ID der Seite: 222353626
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Datum des Abrufs: 11. Oktober 2022, 10:11 UTC

[E2\W3]
Bibliografische Angaben für „Kreiszahl“:
Seitentitel: Kreiszahl
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 8. Oktober 2022, 15:55 UTC
Versions-ID der Seite: 226870155
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Datum des Abrufs: 10. Oktober 2022, 09:56 UTC

[E2\W4]
Bibliografische Angaben für „Rechtwinkliges Dreieck“:
Seitentitel: Rechtwinkliges Dreieck
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 21. März 2022, 05:08 UTC
Versions-ID der Seite: 221353175
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Datum des Abrufs: 11. Oktober 2022, 10:12 UTC

[E2\W5]
Bibliografische Angaben für „Trigonometrische Funktion“:
Seitentitel: Trigonometrische Funktion
Herausgeber: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie.
Autor(en): Wikipedia-Autoren, siehe Versionsgeschichte
Datum der letzten Bearbeitung: 29. Juni 2021, 07:58 UTC
Versions-ID der Seite: 213398669
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Datum des Abrufs: 11. Oktober 2022, 10:09 UTC

Besondere Quellen:

Software (als Referenz für Berechnungsfunktionen u.ä.):

[S\1] Open Office, Version 4.1.13; Hrsg.: Apache; Referenzangaben von Apache: AOO4113m1(Build:9810) - Rev. 281f0d3533
2022-07-01 10:22.

Apache open office

QUELLEN:
Bücher:
Stadelmann, Rainer: Die ägyptischen Pyramiden - Vom Ziegelbau zum Weltwunder (Reihe: Kulturgeschichte der antiken Welt) 3. aktualisierte und erweiterte Aufl.Verlag Phillipp von Zabern, Maniz am Rhein, 1997.
https://www.archaeoforum.de/viewtopic.php?f=22&t=6706

[Quelle YT
https://www.youtube.com/watch?v=Isdci7eYo1U

Quellen (Sonderliteratur):

Bücher (Sonderliteratur):
[SoLit]
Drunvalo Melchizedek: Die Blume des Lebens. Burgrain 2004, Bd. 1 u. 2

[SoLit]
Klitzke, A.: Pyramiden: Wissensträger aus Stein: Das Geheimnis der Pyramiden Ägyptens und Mittelamerikas, 2006.

[SoLit]
Cousto, H.: Die kosmische Oktave - Der Weg zum universellen Einklang. Verlag Synthesis, Essen, 2004.

Artikel u. Inhalte aus dem Internet:
[SoLit]
Bibliografische Angaben für Die Pyramiden von Gizeh wurden nicht von Altägyptern erbaut
Seitentitel: Die Pyramiden von Gizeh wurden nicht von Altägyptern erbaut
Autor(en): Atlantisforschung.de-Bearbeiter
Herausgeber: Atlantisforschung.de, .
Zeitpunkt der letzten Bearbeitung: 31. Juli 2009, 14:36 UTC
Datum des Abrufs: 26. Oktober 2022, 10:19 UTC
Permanente URL: https://atlantisforschung.de/index.php? ... oldid=9124
Versionskennung: 9124
(weitere folgende)

Internetseiten (Sonderliteratur):
[SoLit...] Löner, F.
Seitentitel: Pyramidenbau
URL: https://www.cheops-pyramide.ch/index.html
Datum und Uhrzeit des Abrufs: 27.10.2022/19:12

Youtube-Videos:

[SoLit YV ...]
Kanal: Nuoviso.TV
URL Kanal: https://www.youtube.com/c/NuovisoTvFilmproduktion/about

abgerufene zitierte Videos des Kanals Nuoviso.TV:
URL: https://www.youtube.com/watch?v=lbmmcgHIwKE
Videotitel: Rätselhafte Steinbearbeitung im alten Ägypten
Datum und Uhrzeit des Abrufs: 26.10.2022/12:34

[SoLit YV ...]
Kanal: AboraTV
URL Kanal: https://www.youtube.com/c/AboraTV/about

abgerufene zitierte Videos des Kanals AboraTV:
URL: https://www.youtube.com/watch?v=o7vc4mgo-Ak
Videotitel: Steinbearbeitung im alten Ägypten
Datum und Uhrzeit des Abrufs: 26.10.2022/12:47

[SoLit YV ...]
Kanal: Hansueli Holzer
URL Kanal: https://www.youtube.com/user/hansueliholzer/about

abgerufene zitierte Videos des Kanals Hansueli Holzer:
URL: https://www.youtube.com/watch?v=sO7byzwapNY
Videotitel: Im Steinbruch des Pharao
28.10.2022/19:29

[Youtube-Quellen:]
[Youtube/ Kanal CTV, 1]
Kanalname: CTV News
URL Kanal: https://www.youtube.com/channel/UCi7Zk9 ... lgxIML8MXg
Datum und Uhrzeit des Zugriffs. 28.10.2022/12:29

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URL: https://www.youtube.com/watch?v=o6wWWr6q7kU
Videotitel: Elon Musk claims Egyptian pyramids were built by aliens
Artikel der deutschsprachigen Wikipedia über hier besprochene Sonderliteratur und ihre Autoren:

Bibliografische Angaben für „Blume des Lebens“
Seitentitel: Blume des Lebens
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Bibliografische Angaben für „Erich von Däniken“
Seitentitel: Erich von Däniken
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(weitere folgende)

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Bibliografische Angaben für „Hagia Sophia“
Seitentitel: Hagia Sophia
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Bibliografische Angaben für „Aachener Königspfalz“
Seitentitel: Aachener Königspfalz
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Bibliografische Angaben für „Taj Mahal“
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Bibliografische Angaben für „Kölner Dom“
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Bibliografische Angaben für „Freiburger Münster“

Seitentitel: Freiburger Münster
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Bibliografische Angaben für „Straßburger Münster“
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Bibliografische Angaben für „Chinesische Mauer“

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Bibliografische Angaben für „Angkor Wat“
Seitentitel: Angkor Wat
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Bibliografische Angaben für „Sixtinische Kapelle“
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Bibliografische Angaben für „Pantheon (Rom)“
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Bibliografische Angaben für „Edgar Cayce“
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Bibliografische Angaben für „Eskapismus“
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Bibliografische Angaben für „Darknet“

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Bibliografische Angaben für „Elon Musk“
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Archaeoforum-interne Quellen:

[Arch 1]
Beitragstitel: Historische Steinbearbeitung nach altägyptischen Vorbildern
URL: https://www.archaeoforum.de/viewtopic.php?f=22&t=6706
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eigene Videoquellen des Verfassers:
(siehe Quelle [YC2, YT10]:
https://www.youtube.com/watch?v=Isdci7eYo1U

nachgereichte Quellen:
(Hinweis: nachgereichte Quellen werden nicht alphanumerisch sondern nach Datum und Zeitpunkt des Zugriffs aufgelistet; ng = Abk. für nachgereicht)

[deutschsprachige Wikipedia:]
[ng.gWiki1]
Bibliografische Angaben für „Flinders Petrie“
(*3 Juni. 1853, Chariton bei London; + 28. Juli 1942 bei Jerusalem)
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[ng.gWiki2]
Bibliografische Angaben für „Giovanni Battista Belzoni“
Seitentitel: Giovanni Battista Belzoni
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Bibliografische Angaben für „Jean-François Champollion“
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(vorwärts:) (F)reude (b)efördert (es)sentielle (As)piranten (des) (Ges)angs.
(rückwärts): (ges)tern (des) (as)tes (es)chenknospe [der Wind] (b)lies (f)ort.
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Re: Die Proportionen altägyptischer Pyramiden

Beitragvon Sculpteur » 03.04.2024 11:29

Hier ein aktuelles Kurzvideo (watching time ca. 1 Minute) über ein simples Einmessverfahren zur Nachempfindung der Proportionen Cheopspyramide:

https://youtu.be/e9CqHVIcXzU?si=UADPptu9EVc41Qwe

Das besondere an dieser simplen Einmessvariante ist, das verschiedene erforderliche EInmessschritte in einem Arbeitsschritt erledigt werden können und die Variante einen Zusammenhang zur sog. 12-Knotenschnur herstellt, die sich zu einem Rechten Winkel mit den Streckenproportionen 3 : 4 : 5 (summarisches Tripel bzw. heute üblicherweise sog. primitives pythagoreisches Tripel) aufgespannt werden kann.
Mit einem einfachen Einmesstrick, der interessanterweise mit der in der Antike vermutlich häufiger für Einmessungen verwendeten sogenannten 12-Knotenschnur in Verbindung gebracht werden kann, lassen sich die Proportionen der Cheopspyramide auf dem Plateau von Giseh imitieren.
Erforderlich für die hier im Modellversuch demonstrierter Einmessmethode ist ein zuvor zu erstellender exakter Grundflächenanriss im Rechten Winkel. Außerdem müssen zuvor die einzumessenden Basislängen bzw. Bauabschnittsbreiten ermittelt und angerissen werden. Nun wird eine 12-Knotenschnur mit dem Mittenkoten (dies ist von jeder Seite eines Messwerkzeugs aus Riemen, Schnur oder Seil mit 12 Aufknotungen die 12 gleichlange Teilstrecken erzeugen, von jedem Ende eines Messwerkzeugs aus gezählt jeweils der 7te Knoten, bzw. die 7te Markierung) exakt im Rechten WInkel angehalten. Die beiden Endknoten (Knoten bzw. Markierungen jeder Seite) werden nun auf den zuvor an der am Grundflächenanriss jeweils zuvor vorgenommenen Breitenmarkierung angehalten. Wird nun das Messwerkzeug aus Riemen, Schnur oder Seil gestrafft, so dass auf jeder Seite des angehaltenen Mittenknotens symetrische Dreiecksfiguren entstehen, kann die sich ergebende Kantensituation eines Pyramidenbaukörpers exakt eingemessen werden. Hierfür werden die auf jeder Seite des Rechten Winkels sich ergebenden Dreiecksfiguren in gestrafftem Zustand zusammengeführt. An den Punkten an denen sich beide Dreiecksfiguren an der Kante deckungsgleich treffen, ist die einzumessende Pyramidenkante zu verorten.Um die sich ergebenden Dreiecksfiguren jeweils exakt aufzustraffen, wird auf jeder Seite des vom Rechten Winkel angehaltenen Mittenknotens jewiels der (vom jeweiligen Ende eines Messwerkszeugs gezählt) 4te Knoten gegriffen um die Dreiecksfiguren aufzuspannen. Auf die beschriebene Art und Weise können einzelne Steinblockschichten exakt eingemessen werdenund relevante Punkte für den Pyramidenbau in einem einzigen Einmessschritt ermittelt werden. Praktikabel durchgeführt werden kann diese Einmesstechnik auch über größere Bauwerksabschnitte (über mehrere direkt aufeinanderfolgende Steinblockschichten hinweg). Ideal durchzuführen wäre diese Einmessmethode in der Rekonstruktion mit 3 Personen.
(rechnerischer Nachweis siehe jeweilige Videobeschreibung vorheriger Beiträge zum Thema).

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Datum und Zeitpunkt des Zugriffs: 03.04.2024, 12:28 MEZ
Link zum zitierten Youtube-Video: https://youtu.be/e9CqHVIcXzU?si=UADPptu9EVc41Qwe
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(hochgeladen am 03.04.2024; 12:33 MEZ)
Einmessvariante mit 12-Knotenschnur
MERKSÄTZE für den Quintenzirkel:
(vorwärts:) (F)reude (b)efördert (es)sentielle (As)piranten (des) (Ges)angs.
(rückwärts): (ges)tern (des) (as)tes (es)chenknospe [der Wind] (b)lies (f)ort.
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